设 ${f X},{f Y}$ 分别为 $m imes n$ 与 $n imes m$ 阵, 且 $$ex {f Y}{f X}={f E}_n,quad {f A}={f E}_m+{f X}{f Y}. eex$$ 证明: ${f A}$ 相似于对角阵.
证明: 由 ${f Y}{f X}={f E}_n$ 知 $$ex n= ank({f Y}{f X})leq minsed{ ank({f Y}), ank({f X})}leq minsed{m,n}leq n. eex$$ 于是 $$ex ank({f Y})= ank({f X})=nleq m. eex$$ 设 ${f X}=({f x}_1,{f x}_2,cdots,{f x}_n)$, 而 ${f Y}{f x}={f 0}$ 的基础解系为 ${f x}_{n+1},cdots,{f x}_m$ (由 $ ank({f Y})=n$), 则 (1) 断言: ${f x}_1,cdots,{f x}_n,{f x}_{n+1},cdots,{f x}_m$ 线性无关. 事实上, $$eex ea &quad l_1{f x}_1+cdots+l_n{f x}_n+l_{n+1}{f x}_{n+1}+cdots+l_m{f x}_m={f 0}\ & a l_1{f e}_1+cdots+l_n{f e}_n={f 0}quadsex{mbox{用 }{f Y}mbox{ 作用后利用 }{f Y}{f X}={f E}_n}\ & a l_1=cdots=l_n=0\ & a l_{n+1}{f x}_{n+1}+cdots+l_m{f x}_m={f 0}\ & a l_{n+1}=cdots=l_m=0. eea eeex$$ (2) 由 $$eex ea {f A}({f x}_1,cdots,{f x}_m) &=({f x}_1,cdots,{f x}_m) +{f X}({f e}_1,cdots,{f e}_n,{f 0},cdots,{f 0})\ &=({f x}_1,cdots,{f x}_m) +({f x}_1,cdots,{f x}_n,{f 0},cdots,{f 0})\ &=(2{f x}_1,cdots,2{f x}_n,{f x}_{n+1},cdots,{f x}_m)\ &=({f x}_1,cdots,{f x}_m)sex{a{cc} 2{f E}_n&\ &{f E}_{m-n} ea} eea eeex$$ 知 $$ex {f P}^{-1}{f A}{f P}=sex{a{cc} 2{f E}_n&\ &{f E}_{m-n} ea},{f P}=({f x}_1,cdots,{f x}_m). eex$$
参考: 参考资料中的例4.