第13堂课 作业讲解; 4 解析函数的幂级数表示法 4. 1 复级数的基本性质}
作业讲解: P 139 - 141, T 1, T 2 (2) , T 6, T 10 (1) , T 16 (1) .
1. 复数项级数
(1) 定义: 无穷多个复数相加, 即 $dps{vsm{n}al_n=al_1+al_2+cdots+al_n+cdots}$. 部分和: $dps{s_n=sum_{k=1}^nal_k}$. 收敛或发散: $dps{vlm{n}s_n=slra vsm{n}al_n}$ 收敛 (于 $s$); $sed{s_n}$ 发散 $dps{lra vsm{n}al_n}$ 发散.
(2) 与实数项级数的联系: 设 $al_n=a_n+ib_n$, 则 $$ex vsm{n}al_n=s=a+iblra vsm{n}a_n=a, vsm{n}b_n=b. eex$$ [简言之, 实部的和 $=$ 和的实部; 虚部的和 $=$ 和的虚部]
(3) 例: $dps{vsm{n}sex{cfrac{1}{n}+cfrac{i}{2^n}}}$, $dps{vsm{n}i^n}$.
(4) 敛散性判定准则
a. Cauchy 收敛准则: $dps{vsm{n}al_n}$ 收敛 $lra forall ve>0, exists N, forall ngeq N, forall pgeq 1$, $dps{sev{sum_{k=n+1}^{n+p}al_k}<ve}$.
b. 模级数准则: $dps{vsm{n}|al_n|<infty a vsm{n}al_n}$ 收敛.
c. 例: $dps{|z|<1 a vsm{n}z^n}$ 收敛.
(5) 绝对收敛、条件收敛与发散
a. $$eex ea mbox{级数}sedd{a{ll}mbox{收敛}sedd{a{ll} mbox{绝对收敛}\ mbox{条件收敛} ea}\ mbox{发散} ea} eea eeex$$
b. 绝对收敛与 Cauchy 乘积: 若 $dps{vsm{n}al_n=s}$, $sed{vsm{n}al_n'=s'}$, 则其 Cauchy 乘积 $$ex vsm{n}sum_{k=1}^nal_kal_{n+1-k}'=ss', eex$$ 且为绝对收敛.
2. 复函数项级数
(1) 定义: $dps{vsm{n}f_n(z)}$, $zin E$. 和函数: $dps{f(z)==sum_{k=1}^n f_k(z), zin D}$, 即 $$ex forall ve>0, exists N(ve,z), forall ngeq N, sev{sum_{k=1}^n f_k(z)-f(z)}<ve. eex$$
(2) 一致收敛: ``$dps{vsm{n}f_n(z)}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f(z)$'' 是指 $$ex forall ve>0, exists N(ve), forall ngeq N, sev{sum_{k=1}^n f_k(z)-f(z)}<ve. eex$$ 提问: ``$dps{vsm{n}f_n(z)}$ 在 $D$ 上不一致收敛于 $f(z)$'' 的数学语言是什么?
(3) 一致收敛的判定准则
a. Cauchy 收敛准则.
b. Weierstrass 优级数判定准则.
(4) 一致收敛的性质
a. 和函数连续 (极限与求和交换次序)
b. 可逐项积分 (积分与求和交换次序)、
(5) 内闭一致收敛: $D$ 内任一有界闭集上收敛.
a. 例: $dps{vsm{n}z^n}$ 在 $|z|<1$ 内内闭一致收敛.
3. 解析函数项级数
(1) 定义: $dps{vsm{n}f_n(z), zin D}$, 其中 $f_n(z)$ 在 $D$ 内解析.
(2) 性质: 若解析函数项级数 $dps{vsm{n}f_n(z), zin D}$ 在 $D$ 内内闭一致收敛, 则和函数解析, 并可逐项求导: $$ex f^{(p)}(z)=vsm{n} f_n^{(p)}(z),quad zin D, pgeq 1. eex$$
作业: P 174 T 1 (1) .