命题： 设$f(x)$为$[a,b]$上的可积函数，且$mleq f(x) leq M$, 设$phi(x)$为$[m,M]$上的连续下凸函数,则
$$phileft(frac{1}{b-a}int_{a}^{b}f(x)dx
ight)leq frac{1}{b-a}int_{a}^{b}phi(f)dx$$
若$phi$为上凸函数不等号相反.
证明: 取划分
$$pi: a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<cdots<x_{n}=b$$
令$Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}=frac{b-a}{n}$, 由詹森不等式
$$phileft(frac{1}{n}sum_{1}^{n}f(x_{i})
ight)leq frac{1}{n}phileft(sum_{1}^{n}f(x_{i})
ight)$$
令$n o infty$可得命题成立.
应用:
