1. 一个凸$n$边型,任意三条对角线不共点,问所有的对角线把这个多边形内部分成了多少个区域?
解答:
去边法,现将这个多边形的对角线一条一条的去掉.
假设第一条对角线与其他内部对角线有$k_{1}$个交点,那么去掉它这个多边形内部减少$k_{1}+1$个;再去掉第二条，内部区域减少$k_{2}+1$个
去掉第三条，内部区域减少$k_{3}+1$个,$cdots$,去掉第$frac{n(n-3)}{2}$个,减少$k_{frac{n(n-3)}{2}}+1$个.故多边形内部区域数为
$$N=1+sum_{i=1}^{frac{n(n-3)}{2}}(k_{i}+1)=1+frac{n(n-3)}{2}+sum_{i=1}^{frac{n(n-3)}{2}}k_{i}$$
每个交点对应两条对角线,也就对应了四个顶点,故
$$sum_{i=1}^{frac{n(n-3)}{2}}k_{i}=C_{n}^{4}$$
2. 三个角$A,B,C$满足$cos A+cos B+cos C=sin A+sin B+sin C=0$.
证明：$cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C$等于常数,并求出这个常数.(提示：利用复数.)
3. 记$Q_{1}={Q|x geq 1}$,设函数$f:Q_{1}
ightarrow R$对任意$x,yin Q_{1}$满足不等式
$$|f(x+y)-f(x)-f(y)|<varepsilon$$
这里$varepsilon$是某个大于$0$的数.证明:存在$qin R,$使得任意$xin Q_{1}$都有
$$|frac{f(x)}{x}-q|<2varepsilon$$
4. 证明不等式
$$frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}<n^{r}<frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$$