算法导论--动态规划（钢条分割）

钢条分割

现有的长度n寸钢筋和价格表pi,求分割方案使销售利益最大rn最大
这里写图片描写叙述

长度为n英寸的钢条共同拥有2n−1种不同的分割方案。由于能够每一个整英寸的位置都能够决定分割或者不分割。

为了得到rn最大，能够把这个问题分成子问题求解，先切一刀，再考虑余下的部分的最大收益即求
rn=max{pk+rn−k}（k=1,2,3…n-1），
pk部分不进行继续分割。直接作为一个总体售出 ;
rn−k部分继续分割，考虑全部的情况，分成子问题。
求出全部k值相应的收益最大者作为rn
也有可能不进行不论什么分割利益最大即rn=pn

综上： rn=max(pi+rn−i) (i=1,2,3…n , r0=0)

动态规划求解

考虑上面的算法实现：rn=max(pi+rn−i) (i=1,2,3…n , r0=0)，为了计算出rn必须计算出全部情况的分割方法。即有n个分支。第i个分支又相应着i个子分支。所以若採用递归调用计算全部情况，调用次数将是2n次。执行时间为n的指数函数。

上面的分析知。当中反复计算了非常多次子问题，假设有个好的计算顺序。子问题先计算一次。把结果保存下来，下次再遇到这个子问题，仅仅须要查表就可以。动态规划方法是付出额外的内存空间来节省计算时间。

带备忘的自顶向下法

仍採用递归的方法，但过程中保存已求解过子问题的解。当须要一个子问题的解时。首先检查是否已经保存过此解。

int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{   
    int i=0;
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
    for (i=0;i<=n;i++)                          //初始化
        r[i] = -1;
    return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);         
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
    int q= -1,i;
    if (r[n] >=0)   //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
        return r[n];
    if (n == 0)     //钢条长度为0。收益为0
        q=0;
    else
    {
        q = -1;
        for (i=1;i<=n;i++) 
        {
           q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r));   //自顶向下递归
        }
        r[n] = q;        //保存子问题的值
    }

    return q;        //返回最大的收益
}

自底向上法

把子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个问题时，它所依赖的子问题已经被计算过，结果已经保存，这样每一个子问题仅仅须要计算一次。

int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   //分配空间。用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
  r[0]=0;
  for (j=1;j<=n;j++)
    {
       q=-1;
       for(i=1;i<=j;i++)
       {
           q=Max(q,p[i]+r[j-i]);   //自底向上。由小到大求解子问题
       }
       r[j]=q;   //保存求解后的结果
    }
  return r[n];
}

重构解

上面的代码是返回的最大收益。并没有返回详细分割方法。以下代码保存了每种尺寸，相应的左边部分大小（即作为总体售出部分）

int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   
    int i,j,q=-1;
    s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //保存每次分割前左边部分剩余尺寸
    s[0]=0;
    r[0]=0;
    for (j=1;j<=n;j++)
    {
        q=-1;
        for(i=1;i<=j;i++)
        {

            if (p[i]+r[j-i] > q)
            {
                s[j] = i;      //保存左边部分(作为总体售出的部分)
                q = p[i] + r[j-i];
            }
        }
        r[j]=q;
    }

    return r[n];
}

输入钢条的详细分割方法：

void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{
    while(n>0)
    {
        printf("%d   ",s[n]);   //循环输出尺寸为n的钢条分割方法
        n=n-s[n];
    }
}

例程

/************************************************************************
CSDN 勿在浮沙筑高台 
http://blog.csdn.net/luoshixian099
算法导论--动态规划（钢条分割）
2015年6月2日                    
************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int *s=NULL;
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r);
int Max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int Memoized_Cut_Rod(int *p,int n)
{   
    int i=0;
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //分配空间，用来存储已经计算过的子问题
    for (i=0;i<=n;i++)                          //初始化
        r[i] = -1;
    return Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n,r);         
}
int Memoized_Cut_Rod_Aux(int *p,int n,int *r)
{
    int q= -1,i;
    if (r[n] >=0)   //首先检查是否已经计算过，若有，直接返回
        return r[n];
    if (n == 0)     //钢条长度为0，收益为0
        q=0;
    else
    {
        q = -1;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
           q=Max(q,p[i]+Memoized_Cut_Rod_Aux(p,n-i,r));
        }
        r[n] = q;        //保存子问题的值
    }

    return q;        //返回最大的收益
}
int Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   //分配空间。用来存储已经计算过的子问题
int i,j,q=-1;
  r[0]=0;
  for (j=1;j<=n;j++)
    {
       q=-1;
       for(i=1;i<=j;i++)
       {
           q=Max(q,p[i]+r[j-i]);   //自底向上，由小到大求解子问题
       }
       r[j]=q;   //保存求解后的结果
    }
  return r[n];
}

int Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(int *p,int n)
{
    int * r = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));   
    int i,j,q=-1;
    s = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));  //保存每次分割前左边部分剩余尺寸
    s[0]=0;
    r[0]=0;
    for (j=1;j<=n;j++)
    {
        q=-1;
        for(i=1;i<=j;i++)
        {

            if (p[i]+r[j-i] > q)
            {
                s[j] = i;      //保存左边部分(作为总体售出的部分)
                q = p[i] + r[j-i];
            }
        }
        r[j]=q;
    }

    return r[n];
}
void Print_Cut_Rod_Solution(int *p,int n)
{

    while(n>0)
    {
        printf("%d   ",s[n]);   //循环输出尺寸为n的钢条分割方法
        n=n-s[n];
    }
}
void main()
{
   int p[]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
   int i;
   for (i=1;i<=10;i++)
   {
     //printf("%d
",Memoized_Cut_Rod(p,i));
     printf("尺寸为%d的最大收益：%d ",i,Extended_Bottom_Up_Cut_Rod(p,i));
    // printf("%d  
",s[i]);
     printf("分割方法：");
     Print_Cut_Rod_Solution(p,i);
     free(s);
     s=NULL;
     printf("
");
   }
}

这里写图片描写叙述