简单的传球游戏（矩阵）

简单的传球游戏

Time Limit: 1000ms Memory Limit: 65536KB

64-bit integer IO format: %lld Java class name: Main

K(3<=K<=10^9)个人互相传球，某人接球后立即传给别人。假定初始状态球在甲手中，并将甲发球作为第一次传球过程。求经过N(N<=10^9)次传球后，球又回到甲手中的传球方案数，输出这个数模10^9+7后的结果。

Input

第一行是一个整数T(T<=20000)，表示测试数据的组数。

接下来T行，每行输入两个数N,K(3<=K<=10^9,1<= N<=10^9)。

Output

输出T行，每行输出一组N,K对应方案数模10^9+7后的结果。

Sample Input

2
3 3
3 4

Sample Output

2
6

Hint

第一组样例，N=3,K=3，三个人传三次的传球方式是：

1. A->B->C->A

2. A->C->B->A

Source

第十三届北京师范大学程序设计竞赛决赛

Author

sqy

题目链接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/problem_show.php?pid=49104

转载请注明出处：http://blog.csdn.net/u010579068

题目意思：有K个人相互传球，从甲开始到甲结束，传N次球。（注，自己不能传给自己）

分析与解答：设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有a[n]种，可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他K-1人中的一人进行传球，也就是每次传球都有K-1种可能，由乘法原理，共有(K-1)^(n-1)种。这些传球方式并不完全符合条件，分为两类：一类是第n-1次恰好传到甲手中，有a[n-1]种，不符合条件，因为这样第n次就不能再传给甲了；另一类是第n-1次没在甲手里，第n次持球人再将球传给甲有a[n]种方法,根据加法原理有a[n-1]+a[n]=(K-1)^(n-1)由于甲是发球者，所以a[1]=0;利用递推关系可得

思路：an(n表示传n次球,回到甲手中的次数);

a1=0;

a2=(K-1)^1-a1;

a3=(K-1)^2-a2;

a4=(K-1)^3-a3;

......

这里特别注意，取余的时候，存在越界的情况，我也WA了好几次 T^T .

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define LL long long
 7 #define mod 1000000007
 8 struct matrix
 9 {
10     LL mat[2][2];
11 };
12 
13 matrix multiply(matrix a,matrix b)
14 {
15     matrix c;
16     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
17     for(int i=0;i<2;i++)
18     {
19         for(int j=0;j<2;j++)
20         {
21             if(a.mat[i][j]==0)continue;
22             for(int k=0;k<2;k++)
23             {
24                 if(b.mat[j][k]==0)continue;
25                 c.mat[i][k]+=a.mat[i][j]*b.mat[j][k]%mod;
26   //              c.mat[i][k]%=mod;
27                 if(c.mat[i][k]>mod) c.mat[i][k]-=mod;//果然这里超了。。。
28                 else if(c.mat[i][k]<0) c.mat[i][k]+=mod;
29             }
30         }
31     }
32     return c;
33 }
34 
35 matrix quicklymod(matrix a,LL n)
36 {
37     matrix res;
38     memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
39     for(int i=0;i<2;i++) res.mat[i][i]=1;
40     while(n)
41     {
42         if(n&1)
43             res=multiply(a,res);
44         a=multiply(a,a);
45         n>>=1;
46     }
47     return res;
48 }
49 
50 int main()
51 {
52     LL N,K;
53     int T;
54     scanf("%d",&T);
55     while(T--)
56     {
57         scanf("%lld%lld",&N,&K);
58         if(N==1){printf("0
");continue;}
59         //if(N==2){printf("%lld
",K-1);continue;}
60         
61         matrix ans;
62         ans.mat[0][0]=K-1;
63         ans.mat[0][1]=0;
64         ans.mat[1][0]=K-1;
65         ans.mat[1][1]=-1;
66 
67 //        ans=quicklymod(ans,N-2);
68 //        LL res=(((K-1)%mod)*(ans.mat[1][0]+ans.mat[1][1])%mod)%mod;
69 //        printf("%lld
",res);
70         ans=quicklymod(ans,N-1);
71         printf("%lld
",ans.mat[1][0]);
72     }
73     return 0;
74 }

其他代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 #define LL long long
 7 #define mod 1000000007
 8 struct matrix
 9 {
10     LL mat[2][2];
11 };
12 
13 matrix multiply(matrix a,matrix b)
14 {
15     matrix c;
16     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
17     for(int i=0;i<2;i++)
18     {
19         for(int j=0;j<2;j++)
20         {
21             if(a.mat[i][j]==0)continue;
22             for(int k=0;k<2;k++)
23             {
24                 if(b.mat[j][k]==0)continue;
25                 c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%mod;
26             }
27         }
28     }
29     return c;
30 }
31 
32 matrix quicklymod(matrix a,LL n)
33 {
34     matrix res;
35     memset(res.mat,0,sizeof(res.mat));
36     for(int i=0;i<2;i++) res.mat[i][i]=1;
37     while(n)
38     {
39         if(n&1)
40             res=multiply(a,res);
41         a=multiply(a,a);
42         n>>=1;
43     }
44     return res;
45 }
46 
47 int main()
48 {
49     LL N,K;
50     int T;
51     scanf("%d",&T);
52     while(T--)
53     {
54         scanf("%lld%lld",&N,&K);
55         if(N==1){printf("0
");continue;}
56 //        if(N==2){printf("%lld
",K-1);continue;}
57 
58         matrix ans;
59         ans.mat[0][0]=0;
60         ans.mat[0][1]=K-1;
61         ans.mat[1][0]=1;
62         ans.mat[1][1]=K-2;
63 
64         ans=quicklymod(ans,N-1);
65  //       LL res=((K-1)*(ans.mat[1][0]+ans.mat[1][1])%mod)%mod;
66  //       printf("%lld
",res);
67         printf("%lld
",ans.mat[0][1]);
68     }
69     return 0;
70 }

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 1 #include<stdio.h>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 long long pow(long long n,long long k)
 5 {
 6     long long res = 1;
 7     while (k)
 8     {
 9         if (k&1)    res = res*n%1000000007;
10         n = n*n%1000000007;
11         k >>= 1;
12     }
13     return res;
14 }
15 long long cal(long long n,long long k)
16 {
17     long long res = pow(k-1,n);
18     if(res && n & 1)
19         res = 1000000007 - res;
20     res += (k-1);
21     if (res >= 1000000007)  res -= 1000000007;
22     res = res * pow(k,1000000005)%1000000007;
23     if(res && n & 1)
24         res = 1000000007 - res;
25     return res;
26 }
27 int main()
28 {
29     int _;
30     long long N,K;
31     scanf("%d",&_);
32     while (_--)
33     {
34         scanf("%lld %lld",&N,&K);
35         printf("%lld
",cal(N,K));
36     }
37     return 0;
38 }

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