流形，是局部具有欧几里得空间性质的空间。是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。
地球表面这种球面则是一个略微复杂的样例。
一般的流形能够通过把很多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描写叙述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上。经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也能够定义流形。环面就是双摆的位形空间。
一般能够把几何形体的拓扑结构看作是全然“柔软”的，由于全部变形（同胚）会保持拓扑结构不变。而把解析几何结构看作是“硬”的，由于总体的结构都是固定的。比如一个多项式，假设你知道
区间的取值。则整个实数范围的值都是固定的。所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形能够看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的。而总体结构则是“柔软”的。这或许是中文译名“流形”的原因（总体的形态能够流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它能够作为非常多须要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
流形能够视为近看起来象欧几里得空间或其它相对简单的空间的物体[1]:1。
比如，人们以前以为地球是平的。这是由于相对于地球来说人类实在太小，寻常看到的地面是地球表面微小的一部分。
所以。虽然知道地球实际上差点儿相同是一个圆球。假设仅仅须要考虑当中微小的一部分上发生的事情，比方測量操场跑道的长度或进行房地产交易时，仍然把地面看成一个平面。
一个理想的数学上的球面在足够小的区域上的特性就像一个平面，这表明它是一个流形[2]:283。可是球面和平面的总体结构是全然不同的：假设在球面上沿一个固定方向走，终于会回到起点。而在一个平面上，你能够一直走下去。
回到地球的样例。像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。假设将整个地球的各个地区的地图合订成一本地图集。那么在观看各个地区的地图后，就能够在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为了能让阅读者顺利从一张地图接到下一张，相邻的地图之间会有重叠的部分，以便在脑海里“粘合”两张图。
类似地。在数学中。也能够用一系列“地图”（称为坐标图或坐标卡）组成的“地图集”（atlas, 亦称为图冊）来描写叙述一个流形[2]:283。而“地图”之间重叠的部分在不同的地图里怎样变换。则描写叙述了不同“地图”的相互关系。
描写叙述一个流形往往须要不止一个“地图”，由于一般来说流形并非真正的欧几里得空间。
举例来说，地球就没法用一张平面的地图来合适地描绘。
流形要求局部“看起来像”简单的空间，这不是一个简单的要求。比如。在球上吊一根线。这个总体就不是一个流形。包括了线和球连接的那一点的附近区域一定不是简单的：既不是线也不是面。不管这个区域有多小。
流形有非常多种。最简单的是拓扑流形。它们局部看来像欧几里得空间。其它的种类包括了它们在使用中所须要的额外的结构。比如。一个微分流形不仅支持拓扑，并且要支持微积分。
黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础。使得人们可以用曲率来描写叙述时空。
引例：圆圈[编辑]
圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的一个简单样例。
考虑一个半径为1，圆心在原点的圆。若
和
是圆上的点的坐标，则有
。
局部看来，圆像一条线。而线是一维的。换句话说，仅仅要一个坐标就能够在局部描写叙述一个圆。比如。圆的上半部。坐标大于零的部分（右图中黄色的部分），不论什么一点都能够用坐标确定。
投影映射：
把上半圆映射到开区间
。反过来，给定一个。
就是上半圆的一点：
这种一个映射
就是一个坐标图。它的作用，就是告诉读者“地图”上的一点相应着实际中的哪一点。和它的逆映射都是连续函数甚至是光滑函数。这种映射也叫做一个（微分）同胚[1]:4。
类似的，也能够为圆的下半部（红），左半部（蓝）。右半部（绿）建立坐标图。这四个部分合起来覆盖了整个圆。这四个坐标图就组成了该圆的一个图冊。
注意圆上部和右部的重叠部分。也就是位于圆上和坐标大于0的四分之中的一个圆弧。两个坐标图和
都将这部分双射到区间。
这样就有一个从到它自己的双射
：首先取上面一点
（黄色线段右半部分的点）黄色坐标图的逆映射到达圆上的相应点
。再通过绿色坐标图映射到上:
映射称为坐标变换映射，它告诉读者一张”地图“上的点是怎样相应到还有一张“地图”上的相应的点，说明了两张地图之间的关系[1]:5。
还有一个图冊[编辑]
上，下，左，右四个坐标图表明圆是一个流形。但它们不是唯一能够描写叙述圆形的图冊。坐标图除了能够是几何投影，也能够是别的映射，而坐标图的数量也能够不是四个。仅仅要能够覆盖整个圆即可了。
考虑下面两个坐标图
和
这里
是过点
和固定点
之直线的斜率。
比方右图中，点
和确定的直线（右图黄色直线）斜率是
；点
和确定的直线（右图红色直线）的斜率则是
。
能够把圆上面除了点以外的点一一映射到实数轴
上。
则是关于轴的镜像对称（也就是左右对称）。固定点是
。的逆映射为
非常easy确认对于全部斜率值成立。
这两个坐标图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为
注意每一个坐标图都缺了一点，对于是点，对于
是点。所以每一个坐标图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具能够证明。没有单个的坐标图能够覆盖整个圆圈；在这个简单的样例里，已经能够看到流形拥有多个坐标图的灵活性[1]:4。
流形不必连通（整个仅仅有一片）;这样，一对分离的圆圈能够是一个流形。它们不必是闭的。所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限。这样抛物线也是一个流形。