Description

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有 (n) 个人去一个有 (k) 个座位的电影院看电影

当前人选座位的方式是随机一个数，如果那个数字已经有人了，那么就往后移一个

如果到第 (k) 个都有了人，那么就只能站着了

求让所有人都坐着的概率

需要高精，分数

（但是不用高精 (gcd) ）

(n,kle 200)

Solution

特判 (k<n) 的情况

总的情况数是 (k^n)

即每个人有 (k) 种选择，共 (n) 个人

（下面这里很巧妙！）

我们考虑构造一个环，连接最后一个点和起始点

即如果到了最后一个位置没法坐就到第一个位置

这样座位总是够坐的

这样我们发现还是没法统计

那么我们建立第 (k+1) 个位置作为虚拟点

所以答案的分子就是没有人坐最后一个虚拟点的方案

我们断环成链，每次找那个最后一个位置没有人的方案

一共有 ((k+1)^{n-1}) 种总方案，环的重复是有 (k+1) 种的

每次断环成链最后一个位置没有人就是最后一个位置为空的方案

所以

[ans=frac{(k+1)^{n+1}}{k^n} ]

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar(); 
		return res*f;
	}
	const int N=3010;
	struct node{
		int a[N],len;
		inline void init(int x){memset(a,0,sizeof(a)); len=0; while(x) a[++len]=x%10,x/=10; return ;}
		inline void print(){for(int i=len;i;--i) putchar('0'+a[i]);  printf(" "); return ;}
		inline void mul(int x)
		{
			for(int i=1;i<=len;++i) a[i]=a[i]*x;
			for(int i=1;i<=len;++i) a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
			while(a[len+1]) len++,a[len+1]+=a[len]/10,a[len]%=10;
			return ;
		}
	};
	int fl[N],f[N],n,k,p[N],cnt;
	int d1[N],d2[N];
	inline void work()
	{
		memset(d1,0,sizeof(d1)); memset(d2,0,sizeof(d2));
		int n=read(),k=read();
		if(n>k) return puts("0 1"),void();
		int t=k+1-n; 
		d1[k+1]+=n-1; d2[k]+=n; d1[k+1-n]++; 
		for(int i=k+1;i>=2;--i) if(fl[i]==i) continue; else d1[fl[i]]+=d1[i],d1[i/fl[i]]+=d1[i];
		for(int i=k+1;i>=2;--i) if(fl[i]==i) continue; else d2[fl[i]]+=d2[i],d2[i/fl[i]]+=d2[i]; 
		for(int i=1;i<=k+1;++i) 
		{
			if(fl[i]!=i) continue;
			int p=min(d1[i],d2[i]); d1[i]-=p; d2[i]-=p;
		}
		node a1,a2; a1.init(1); a2.init(1);
		for(int i=1;i<=N-1;++i) 
		{
			if(fl[i]==i) 
			{
				while(d1[i]--) a1.mul(i); 
				while(d2[i]--) a2.mul(i);
			}
		}
		a1.print(); a2.print(); puts("");
		return ;
	}
	inline void prework()
	{
		for(int i=2;i<N;++i)
		{
			if(!fl[i]) fl[i]=i,p[++cnt]=i;
			for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<N;++j)
			{
				if(p[j]>fl[i]) break;
				fl[p[j]*i]=p[j];
			}
		} return ;
	}
	signed main()
	{
		prework();
		int T=read(); while(T--) work();
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main();}

Review

当我们在发现当下的统计不方便的时候，不如考虑新建虚拟点的类似操作

然后把答案转化出来，再进行统计