跳跃表的定义
跳跃表是一种有序数据结构，它通过在每个结点中维持多个指向其他结点的指针，从而达到快速访问其他结点的目的
跳跃表的结构
跳跃表操作的时间空间复杂度分析
1.跳跃表的结点插入
1）新结点从上到下与各层索引结点逐一比较，确定在原链表的插入位置：【O(log N）】
2）确定在原链表的插入位置后直接插入:【O(1)】
3）利用随机的方式决定新结点上升为几层索引结点：【O(log N)】
总体来说，跳跃表的插入操作的时间复杂度是O(log N)
2.跳跃表结点的查询
1）从上到下与索引结点进行比较，逐步缩小需要查询的结点所在的范围（因为跳跃表是有序的数据结构，类似于二分的思想）【平均：O（log N),最坏为O(N)】
总体来说，跳跃表的查询操作的时间复杂度为O(log N)
3.跳跃表结点的删除
1）自上而下，查找第一次出现结点的索引，并逐层找到每一层对应的结点:【O(log N)】
2）删除每一层查到的结点，如果该层只剩一个结点，删除整个一层（原链表除外）【O(log N)】
总的来说，跳跃表的删除操作的时间复杂度是O(log N)
4.跳跃表的空间复杂度
对于每层的期待：第一层n，第二层n/2，第三层n/22，...，直到 n/2log n=1。
所以，总空间需求：S = n + n/2 + n/22 + ... + n/2log n < n(1 + 1/2 + 1/22 + ... + 1/2∞) =2n
因此他的空间复杂度为 2n = O(n)
总的来说，跳跃表的空间复杂度为O(N)
5.跳跃表的高度
对每层来说，它会向上增长的概率为1/2，则第m层向上增长的概率为1/2m；
n个元素，则在m层元素数目的期待为Em = n/2m；
当Em = 1，m = log2n即为层数的期待。
故其高度期待为 Eh = O(log n)。
其他知识
1.大多数情况下，跳跃表的效率的平衡树不相上下， 并且跳跃表的实现更加简单
2.Redis使用跳跃表作为有序集合键的底层实现之一，如果一个有序集合包含的元素数量多，又或者有序集合中元素的成员是比较长的字符串时，Redis就会采用跳跃表来作为有序集合键的底层实现
3.Redis只在两个地方使用了跳跃表：有序集合键和集群结点中用作内部数据结构
4.跳跃表结点的后退指针只能后退到原链表的前一个结点，每次只能后推一个结点
5.跳跃表结点按照分值升序排序
6.在同一个跳跃表中，各个结点保存的成员对象必须是唯一的，但是多个结点保存的分值可以相同
7.通过跳跃表属性的记录，跳跃表可以在O(1)获取头尾结点，表长度和层数
8.每个跳跃表结点的层高都是1-32的随机数
9.跳跃表的真正源码在redis的redis.h文件和t_zset.c文件下
源码分析如下：
zskiplist.h文件：
#ifndef ZSKIPLIST_H #define ZSKIPLIST_H //the last time an object was accessed #define REDIS_LRU_BITS 24 //zskiplist max level,Should be enough for 2^32 elements #define ZSKIPLIST_MAXLEVEL 32 //Skiplist P = 1/4 #define ZSKIPLIST_P 0.25 //=====数据结构========// /* * Redis 对象 */ typedef struct redisObject { // 类型 unsigned type:4; // 编码 unsigned encoding:4; // 对象最后一次被访问的时间 unsigned lru: REDIS_LRU_BITS; /* lru time ( ) */ // 引用计数 int refcount; // 指向实际值的指针 void *ptr; } robj; /* * 跳跃表节点 */ typedef struct zskiplistNode { // 成员对象 robj *obj; // 分值 double score; // 后退指针 struct zskiplistNode *backward; // 层 struct zskiplistLevel { // 前进指针 struct zskiplistNode *forward; // 跨度 unsigned int span; } level[]; } zskiplistNode; /* * 跳跃表 */ typedef struct zskiplist { // 表头节点和表尾节点 struct zskiplistNode *header, *tail; // 表中节点的数量 unsigned long length; // 表中层数最大的节点的层数 int level; } zskiplist; // 表示开区间/闭区间范围的结构 typedef struct { // 最小值和最大值 double min, max; // 指示最小值和最大值是否*不*包含在范围之内 // 值为 1 表示不包含，值为 0 表示包含 int minex, maxex; /* are min or max exclusive? */ } zrangespec; //=========== API定义 ===============// //创建一个新的跳跃表 zskiplist *zslCreate(void); //释放给定跳跃表，以及表中所有的结点 void zslFree(zskiplist *zsl); //将包含给定成员和分值的新结点添加到跳跃表中 zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, robj *obj); //删除跳跃表中包含给定成员和分值的结点 int zslDelete(zskiplist *zsl, double score, robj *obj); //返回包含给定成员和分值的结点在跳跃表中的排位 unsigned long zslGetRank(zskiplist *zsl, double score, robj *o); //返回跳跃表在给定排位上的结点 zskiplistNode* zslGetElementByRank(zskiplist *zsl, unsigned long rank); //给定一个分值范围，判断该分值范围是否包含在跳跃表的分值范围内 int zslIsInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，返回跳跃表中第一个符合这个范围的结点 zskiplistNode *zslFirstInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，返回跳跃表中最后一个符合这个范围的结点 zskiplistNode *zslLastInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个分值范围，删除跳跃表中所有在这个范围内的结点 unsigned long zslDeleteRangeByScore(zskiplist *zsl, zrangespec *range); //给定一个排位范围，删除跳跃表中所有在这个范围内的结点 unsigned long zslDeleteRangeByRank(zskiplist *zsl, unsigned int start, unsigned int end); #endif // ZSKIPLIST_H
zskiplist.c文件：
#include<malloc.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include "zskiplist.h" /* * 创建一个层数为 level 的跳跃表节点， * 并将节点的成员对象设置为 obj ，分值设置为 score 。 * * 返回值为新创建的跳跃表节点 * * T = O(1) */ zskiplistNode *zslCreateNode(int level, double score, robj *obj) { // 分配空间 //在这里我没有使用redis提供的内存分配函数zmalloc，而是使用c提供的malloc //zskiplistNode *zn = zmalloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel)); zskiplistNode *zn = malloc(sizeof(*zn)+level*sizeof(struct zskiplistLevel)); // 设置属性 zn->score = score; zn->obj = obj; return zn; } /* * 创建并返回一个新的跳跃表 * * T = O(1) */ zskiplist *zslCreate(void) { int j; zskiplist *zsl; // 分配空间 //zsl = zmalloc(sizeof(*zsl)); zsl = malloc(sizeof(*zsl)); // 设置高度和起始层数 zsl->level = 1; zsl->length = 0; // 初始化表头节点 // T = O(1) zsl->header = zslCreateNode(ZSKIPLIST_MAXLEVEL,0,NULL); for (j = 0; j < ZSKIPLIST_MAXLEVEL; j++) { zsl->header->level[j].forward = NULL; zsl->header->level[j].span = 0; } zsl->header->backward = NULL; // 设置表尾 zsl->tail = NULL; return zsl; } /* * 释放给定的跳跃表节点 * * T = O(1) */ void zslFreeNode(zskiplistNode *node) { //对象引用计数-1 //在这里我将引用计数去掉了，因为只是为了演示zskiplist，没有必要，而且加上这个还要引入其他头文件才能跑 //decrRefCount(node->obj); //zfree(node); //同样，这里采用的是c提供的函数，没有使用redis提供的内存函数zfree free(node); } /* * 释放给定跳跃表，以及表中的所有节点 * * T = O(N) */ void zslFree(zskiplist *zsl) { zskiplistNode *node = zsl->header->level[0].forward, *next; // 释放表头 //zfree(zsl->header); free(zsl->header); // 释放表中所有节点 // T = O(N) while(node) { next = node->level[0].forward; zslFreeNode(node); node = next; } // 释放跳跃表结构 //zfree(zsl); free(zsl); } /* * 返回一个随机值，用作新跳跃表节点的层数。 * * 返回值介乎 1 和 ZSKIPLIST_MAXLEVEL 之间（包含 ZSKIPLIST_MAXLEVEL）， * 根据随机算法所使用的幂次定律，越大的值生成的几率越小。 * * T = O(N) */ int zslRandomLevel(void) { int level = 1; while ((rand()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF)) level += 1; return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL; } /* * 创建一个成员为 obj ，分值为 score 的新节点， * 并将这个新节点插入到跳跃表 zsl 中。 * * 函数的返回值为新节点。 * * T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) */ zskiplistNode *zslInsert(zskiplist *zsl, double score, robj *obj) { zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x; unsigned int rank[ZSKIPLIST_MAXLEVEL]; int i, level; //redisAssert(!isnan(score)); // 在各个层查找节点的插入位置 // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { /* store rank that is crossed to reach the insert position */ // 如果 i 不是 zsl->level-1 层 // 那么 i 层的起始 rank 值为 i+1 层的 rank 值 // 各个层的 rank 值一层层累积 // 最终 rank[0] 的值加一就是新节点的前置节点的排位 // rank[0] 会在后面成为计算 span 值和 rank 值的基础 rank[i] = i == (zsl->level-1) ? 0 : rank[i+1]; // 沿着前进指针遍历跳跃表 // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) while (x->level[i].forward && (x->level[i].forward->score < score || // 比对分值 (x->level[i].forward->score == score && // 比对成员， T = O(N) 1/* compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0*/))) { // 记录沿途跨越了多少个节点 rank[i] += x->level[i].span; // 移动至下一指针 x = x->level[i].forward; } // 记录将要和新节点相连接的节点 update[i] = x; } /* * zslInsert() 的调用者会确保同分值且同成员的元素不会出现， * 所以这里不需要进一步进行检查，可以直接创建新元素。 */ // 获取一个随机值作为新节点的层数 level = zslRandomLevel(); // 如果新节点的层数比表中其他节点的层数都要大 // 那么初始化表头节点中未使用的层，并将它们记录到 update 数组中 // 将来也指向新节点 if (level > zsl->level) { // 初始化未使用层 // T = O(1) for (i = zsl->level; i < level; i++) { rank[i] = 0; update[i] = zsl->header; update[i]->level[i].span = zsl->length; } // 更新表中节点最大层数 zsl->level = level; } // 创建新节点 x = zslCreateNode(level,score,obj); // 将前面记录的指针指向新节点，并做相应的设置 // T = O(1) for (i = 0; i < level; i++) { // 设置新节点的 forward 指针 x->level[i].forward = update[i]->level[i].forward; // 将沿途记录的各个节点的 forward 指针指向新节点 update[i]->level[i].forward = x; /* update span covered by update[i] as x is inserted here */ // 计算新节点跨越的节点数量 x->level[i].span = update[i]->level[i].span - (rank[0] - rank[i]); // 更新新节点插入之后，沿途节点的 span 值 // 其中的 +1 计算的是新节点 update[i]->level[i].span = (rank[0] - rank[i]) + 1; } /* increment span for untouched levels */ // 未接触的节点的 span 值也需要增一，这些节点直接从表头指向新节点 // T = O(1) for (i = level; i < zsl->level; i++) { update[i]->level[i].span++; } // 设置新节点的后退指针 x->backward = (update[0] == zsl->header) ? NULL : update[0]; if (x->level[0].forward) x->level[0].forward->backward = x; else zsl->tail = x; // 跳跃表的节点计数增一 zsl->length++; return x; } /* * 内部删除函数， * 被 zslDelete 、 zslDeleteRangeByScore 和 zslDeleteByRank 等函数调用。 * * T = O(1) */ void zslDeleteNode(zskiplist *zsl, zskiplistNode *x, zskiplistNode **update) { int i; // 更新所有和被删除节点 x 有关的节点的指针，解除它们之间的关系 // T = O(1) for (i = 0; i < zsl->level; i++) { if (update[i]->level[i].forward == x) { update[i]->level[i].span += x->level[i].span - 1; update[i]->level[i].forward = x->level[i].forward; } else { update[i]->level[i].span -= 1; } } // 更新被删除节点 x 的前进和后退指针 if (x->level[0].forward) { x->level[0].forward->backward = x->backward; } else { zsl->tail = x->backward; } // 更新跳跃表最大层数（只在被删除节点是跳跃表中最高的节点时才执行） // T = O(1) while(zsl->level > 1 && zsl->header->level[zsl->level-1].forward == NULL) zsl->level--; // 跳跃表节点计数器减一 zsl->length--; } /* * 从跳跃表 zsl 中删除包含给定节点 score 并且带有指定对象 obj 的节点。 * * T_wrost = O(N^2), T_avg = O(N log N) */ int zslDelete(zskiplist *zsl, double score, robj *obj) { zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x; int i; // 遍历跳跃表，查找目标节点，并记录所有沿途节点 // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { // 遍历跳跃表的复杂度为 T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) while (x->level[i].forward && (x->level[i].forward->score < score || // 比对分值 (x->level[i].forward->score == score && // 比对对象，T = O(N) 1/*compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,obj) < 0*/))) // 沿着前进指针移动 x = x->level[i].forward; // 记录沿途节点 update[i] = x; } /* * 检查找到的元素 x ，只有在它的分值和对象都相同时，才将它删除。 */ x = x->level[0].forward; if (x && score == x->score && 1/*equalStringObjects(x->obj,obj)*/) { // T = O(1) zslDeleteNode(zsl, x, update); // T = O(1) zslFreeNode(x); return 1; } else { return 0; /* not found */ } return 0; /* not found */ } /* * 查找包含给定分值和成员对象的节点在跳跃表中的排位。 * * 如果没有包含给定分值和成员对象的节点，返回 0 ，否则返回排位。 * * 注意，因为跳跃表的表头也被计算在内，所以返回的排位以 1 为起始值。 * * T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) */ unsigned long zslGetRank(zskiplist *zsl, double score, robj *o) { zskiplistNode *x; unsigned long rank = 0; int i; // 遍历整个跳跃表 x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { // 遍历节点并对比元素 while (x->level[i].forward && (x->level[i].forward->score < score || // 比对分值 (x->level[i].forward->score == score && // 比对成员对象 1/*compareStringObjects(x->level[i].forward->obj,o) <= 0*/))) { // 累积跨越的节点数量 rank += x->level[i].span; // 沿着前进指针遍历跳跃表 x = x->level[i].forward; } /* x might be equal to zsl->header, so test if obj is non-NULL */ // 必须确保不仅分值相等，而且成员对象也要相等 // T = O(N) if (x->obj && 1/*equalStringObjects(x->obj,o)*/) { return rank; } } // 没找到 return 0; } /* * 根据排位在跳跃表中查找元素。排位的起始值为 1 。 * * 成功查找返回相应的跳跃表节点，没找到则返回 NULL 。 * * T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) */ zskiplistNode* zslGetElementByRank(zskiplist *zsl, unsigned long rank) { zskiplistNode *x; unsigned long traversed = 0; int i; // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { // 遍历跳跃表并累积越过的节点数量 while (x->level[i].forward && (traversed + x->level[i].span) <= rank) { traversed += x->level[i].span; x = x->level[i].forward; } // 如果越过的节点数量已经等于 rank // 那么说明已经到达要找的节点 if (traversed == rank) { return x; } } // 没找到目标节点 return NULL; } /* * 检测给定值 value 是否大于（或大于等于）范围 spec 中的 min 项。 * * 返回 1 表示 value 大于等于 min 项，否则返回 0 。 * * T = O(1) */ static int zslValueGteMin(double value, zrangespec *spec) { return spec->minex ? (value > spec->min) : (value >= spec->min); } /* * 检测给定值 value 是否小于（或小于等于）范围 spec 中的 max 项。 * * 返回 1 表示 value 小于等于 max 项，否则返回 0 。 * * T = O(1) */ static int zslValueLteMax(double value, zrangespec *spec) { return spec->maxex ? (value < spec->max) : (value <= spec->max); } /* Returns if there is a part of the zset is in range. * * 如果给定的分值范围包含在跳跃表的分值范围之内， * 那么返回 1 ，否则返回 0 。 * * T = O(1) */ int zslIsInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range) { zskiplistNode *x; // 先排除总为空的范围值 if (range->min > range->max || (range->min == range->max && (range->minex || range->maxex))) return 0; // 检查最大分值 x = zsl->tail; if (x == NULL || !zslValueGteMin(x->score,range)) return 0; // 检查最小分值 x = zsl->header->level[0].forward; if (x == NULL || !zslValueLteMax(x->score,range)) return 0; return 1; } /* * 返回 zsl 中第一个分值符合 range 中指定范围的节点。 * Returns NULL when no element is contained in the range. * * 如果 zsl 中没有符合范围的节点，返回 NULL 。 * * T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) */ zskiplistNode *zslFirstInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range) { zskiplistNode *x; int i; /* If everything is out of range, return early. */ if (!zslIsInRange(zsl,range)) return NULL; // 遍历跳跃表，查找符合范围 min 项的节点 // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { /* Go forward while *OUT* of range. */ while (x->level[i].forward && !zslValueGteMin(x->level[i].forward->score,range)) x = x->level[i].forward; } /* This is an inner range, so the next node cannot be NULL. */ x = x->level[0].forward; //redisAssert(x != NULL); /* Check if score <= max. */ // 检查节点是否符合范围的 max 项 // T = O(1) if (!zslValueLteMax(x->score,range)) return NULL; return x; } /* * 返回 zsl 中最后一个分值符合 range 中指定范围的节点。 * * 如果 zsl 中没有符合范围的节点，返回 NULL 。 * * T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) */ zskiplistNode *zslLastInRange(zskiplist *zsl, zrangespec *range) { zskiplistNode *x; int i; /* If everything is out of range, return early. */ // 先确保跳跃表中至少有一个节点符合 range 指定的范围， // 否则直接失败 // T = O(1) if (!zslIsInRange(zsl,range)) return NULL; // 遍历跳跃表，查找符合范围 max 项的节点 // T_wrost = O(N), T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { /* Go forward while *IN* range. */ while (x->level[i].forward && zslValueLteMax(x->level[i].forward->score,range)) x = x->level[i].forward; } /* This is an inner range, so this node cannot be NULL. */ //redisAssert(x != NULL); /* Check if score >= min. */ // 检查节点是否符合范围的 min 项 // T = O(1) if (!zslValueGteMin(x->score,range)) return NULL; // 返回节点 return x; } /* Delete all the elements with score between min and max from the skiplist. * * 删除所有分值在给定范围之内的节点。 * * Min and max are inclusive, so a score >= min || score <= max is deleted. * * min 和 max 参数都是包含在范围之内的，所以分值 >= min 或 <= max 的节点都会被删除。 * * Note that this function takes the reference to the hash table view of the * sorted set, in order to remove the elements from the hash table too. * * 节点不仅会从跳跃表中删除，而且会从相应的字典中删除。 * * 返回值为被删除节点的数量 * * T = O(N) */ unsigned long zslDeleteRangeByScore(zskiplist *zsl, zrangespec *range/*, dict *dict*/) { zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x; unsigned long removed = 0; int i; // 记录所有和被删除节点（们）有关的节点 // T_wrost = O(N) , T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { while (x->level[i].forward && (range->minex ? x->level[i].forward->score <= range->min : x->level[i].forward->score < range->min)) x = x->level[i].forward; update[i] = x; } /* Current node is the last with score < or <= min. */ // 定位到给定范围开始的第一个节点 x = x->level[0].forward; /* Delete nodes while in range. */ // 删除范围中的所有节点 // T = O(N) while (x && (range->maxex ? x->score < range->max : x->score <= range->max)) { // 记录下个节点的指针 zskiplistNode *next = x->level[0].forward; zslDeleteNode(zsl,x,update); //dictDelete(dict,x->obj); zslFreeNode(x); removed++; x = next; } return removed; } /* Delete all the elements with rank between start and end from the skiplist. * * 从跳跃表中删除所有给定排位内的节点。 * * Start and end are inclusive. Note that start and end need to be 1-based * * start 和 end 两个位置都是包含在内的。注意它们都是以 1 为起始值。 * * 函数的返回值为被删除节点的数量。 * * T = O(N) */ unsigned long zslDeleteRangeByRank(zskiplist *zsl, unsigned int start, unsigned int end/*, dict *dict*/) { zskiplistNode *update[ZSKIPLIST_MAXLEVEL], *x; unsigned long traversed = 0, removed = 0; int i; // 沿着前进指针移动到指定排位的起始位置，并记录所有沿途指针 // T_wrost = O(N) , T_avg = O(log N) x = zsl->header; for (i = zsl->level-1; i >= 0; i--) { while (x->level[i].forward && (traversed + x->level[i].span) < start) { traversed += x->level[i].span; x = x->level[i].forward; } update[i] = x; } // 移动到排位的起始的第一个节点 traversed++; x = x->level[0].forward; // 删除所有在给定排位范围内的节点 // T = O(N) while (x && traversed <= end) { // 记录下一节点的指针 zskiplistNode *next = x->level[0].forward; // 从跳跃表中删除节点 zslDeleteNode(zsl,x,update); // 从字典中删除节点 //dictDelete(dict,x->obj); // 释放节点结构 zslFreeNode(x); // 为删除计数器增一 removed++; // 为排位计数器增一 traversed++; // 处理下个节点 x = next; } // 返回被删除节点的数量 return removed; } int main() {}
zskiplist.h和zskiplist.c文件是我自己取的，跳跃表的真正源码在redis的redis.h文件和t_zset.c文件下