需要学会求解的类型
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直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程 -
特解十分难算的高阶常系数线性微分方程 -
可化简的其它类型
概念
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齐次方程与非齐次方程
(1). 齐次方程 (:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= 0,) 相当于线性代数里面的(AX=0.)其中(A_{n} =egin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & cdots & a_{n} end{pmatrix}, X =egin{pmatrix}y^{(n)}\y^{(n-1)}\vdots\yend{pmatrix},) 由于通过(y)可以求出对应的(y',y'',...,y^{(n)},) 故微分方程求解即解出(y)的表达式
(2). 非齐次方程(:a_1*y^{(n)}+a_2*y^{(n-1)}+...+a_{n-1}*y'+a_n*y= f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x)\space)
相当于线性代数里面的(AX=eta,) 其中(eta = g(x) =f_1(x)+...+f_m(x)) -
通解和特解和全部解- 特解: 符合方程等式成立的任意一个解
- 通解: 符合方程等式成立的一群解
- 全部解: 不能遗漏任何一个是方程等式成立的解。
在方程的等式变形过程中可能会将(y)放到分母位置上, 从而导致丢掉部分解,直接得到的是通解。 通解加上 奇解 就是全部解
(1). 齐次和非齐次是和其它概念可以并存的, 例如(y' + p(x)*y=q(x))为一阶线性非齐次微分方程,
朴实无华的公式法, 而(y' + p(x)*y=0)为一阶线性齐次方程, 也就是可分离变量类型的微分方程
(2). 对于齐次方程(A_1X=0)而言, 如果(X_1^*)是方程的一个特解, 且(X_1^* eq 0),即满足(A_1X_1^*=0). 则乘上任意系数(k)后得到的(kX_1^*)仍然为(A_1X=0)的解, 也就是(A_1(kX_1^*)=0), 即齐次方程的通解= (k) *齐次方程的不为0的特解
(3)为了和上面的齐次方程做一个区分, 非齐次方程的变元使用(Y).
对于非齐次方程(A_2Y = eta)的特解(Y_2^*), 即满足(A_2Y_2^* = eta), 同时与之对应的齐次方程(A_2Y=0)的通解(Y_1(=k_1X_1^*+k_2X_2^*+...+k_nX_n^*)), 因为(A_2(Y_1 + Y_2^*)=A_2Y_1+A_2Y_2^*=0+eta=eta), 所以(Y_1+Y_2^*)为非齐次的通解(一片解), 即非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 -
线性和非线性
(1). 线性方程: 例如从小学开始学习的(3x+1=4)和线性方程组(egin{cases}3x + 5y &= 1 \7x - 2y &= 2end{cases})
(2). 非线性方程: 高中解的最多的(x^2+ 2x + 1 = 0)或解析几何中的熟悉的联立(egin{cases}frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} &= 1 \x - 2y &= 2end{cases})线性方程是指
待求解的变量的最高幂次(leq) 1的方程, 而非线性方程中待求解变量的最高幂次(>) 1
所谓待求解的变量和自己的选择有关,例如(y' + x^2*y = x)这里选择求解(y,) 那(x^2)作为系数,对于(y)而言的所有变量的幂次都没有超过1,所以是线性方程, 一般情况下非线性方程不可解, 考察的都是线性方程
计算求解
- 一阶微分方程:
公式法或左右两边同乘(e^{p(x)}) 化简方法:换元法和x,y位置互换- 高阶常系数线性微分方程:
解多项式(求齐次通解) +算子法(求非齐次特解)
换元法
((1)u = frac{y}{x} ightarrow y=ux ightarrow dy = u*dx + x*du)
((2)u=ax+by+c ightarrow du = a*dx + b*dy)
((3)u=y' ightarrow y'' = frac{dy'}{dx} = frac{du}{dx}=egin{cases} u' & ,缺y可化简型; \ frac{du}{dy}*frac{dy}{dx}=frac{du}{dy}*u &,缺x可化简型; end{cases})
((4)u=y^{1-n}或frac{1}{y^{n-1}} ightarrow du=frac{1}{1-n}*y^{-n} spacespacespacespacespacespacespacespacespace伯努利方程)
((5)u==egin{cases}Inx &, x>0\ In(-x)&, x<0end{cases}spacespacespacespacespacespacespace欧拉方程)
(x,y)
位置互换个人认为不算一种具体的方法，而是一种思想。要注意可能会和换元法结合使用
算子法
求高阶非齐次线性微分方程的特解, 即(y^*)
首先约定两个符号(D)(求导)和(frac{1}{D})(积分). 此外((D+1)y)表示(Dy+y),即(y'+y), 而(frac{1}{D+1}y)没有特别含义
计算特解有5种类型:
- 指数函数(f(x) = e^{kx})
- 三角函数(f(x) = sin(ax))
- 多项式(P_n(x) = x^n + x^{n-1} + ... + x)
- 指数函数 * 三角函数(f(x) = e^{kx}*sin{(ax)}) 和指数函数 * 多项式(f(x)=e^{kx}*P_n(x))
- 三角函数 * 多项式(f(x) = sin(ax)*P_n(x))
(类型1: f(x) = e^{kx})
解决策略
- 将高阶导(y^{(n)})写成(D^{n}), 解出(y^* =frac{1}{F(D)}f(x))
- 令(D = k),
- 如果不能令(D=k), 向前提取(x)后, 对(D)求导后再令
例题1
(y''- 4y' + 3y = 2e^{(2x)})
解析:
(D^2y-4Dy+3y=2e^{(2x)})
(y^*= frac{1}{(D^2-4D+3)} 2e^{(2x)}spacespacespacespace (y^*只是表示特解))
(常数可以直接提前, 即y^*= 2frac{1}{(D^2-4D+3)} e^{(2x)})
令(D=k=2, y^* = 2*frac{1}{2^2-4*2+3}e^{(2x)} = -2e^{(2x)})
例题2
(y'' + 2y' -3y = e^{(-3x)})
解析:
(D^2y+2Dy-3y=e^{(-3x)})
(y^*= frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)})
令(D=k=-3, 此时y^* = frac{1}{9-6-3}e^{(-3x)},此时分母为0, 即不可令D=k)
(所以此时y^*= frac{1}{(D^2+2D-3)} e^{(-3x)}xlongequal{对F(D)求导} xfrac{1}{2D+2}e^{(-3x)} = xfrac{1}{-4} e^{(-3x)} = -frac{1}{4}xe^{(-3x)})
(类型2: f(x) = sin(ax)或cos(ax))
解决策略
- 能令(D^2 = -a^2)则先令
- 没有(D^2),则分子分母同乘多项式凑出(D^2)后再令
- 有(D^2)但是不能令, 也就是令完之后分母为0, 一样提取(x)后求导再尝试
例题3
(y'' - y = sinx)
解析:
(y^*= frac{1}{D^2-1} sinx=frac{1}{(-1)-1}sinx=-frac{1}{2}sinx)
例题4
(y'' + 4y = cos(2x))
解析:
(因为y^*= frac{1}{D^2+4} cos(2x)=frac{1}{(-4)+4}cos(2x))
(所以y^* = xfrac{1}{2D}cos(2x) xlongequal{常数可提取} frac{x}{2}frac{1}{D}cos(2x)xlongequal{frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}frac{x*sin(2x)}{4})
例题5
(y'' - 6y' + 9y = cosx)
解析:
(y^* = frac{1}{D^2 - 6D + 9}cosxxlongequal{能令则令} frac{1}{8-6D}cosxxlongequal{没有要凑, 同乘多项式通分}frac{8 + 6D}{64 - 36D^2}cosxxlongequal{能令则令}frac{1}{100}(8+6D)cosx)
(xlongequal{多项式乘法,Df(x)表示求导}frac{1}{100}(8*cosx -6sinx))
(类型3: f(x) = P_n(x)多项式)
解决策略:
- 使用无穷级数(frac{1}{1-q} = 1+q+q^2+...+q^n), 展开到需要的阶数即可
例题6
(y'' + y = -2x)
解析:
(y^* = frac{1}{D^2 + 1}(-2x)xlongequal{令q=-D^2}(1-D^2+...)(-2x)=-2x 这里的多项式为1阶, 实际上只需要展开到D即可,因为D^2x=0)
例题7
(y'' + y' = x^2)
解析:
(y^* = frac{1}{D^2+D}x^2)
(此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x) = f(x)+1-1)
(得到y^* = frac{1}{1-(1-D^2-D)}x^2 =[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D)^2+...+(1-D^2-D)^n]x^2)
(可以看到即使对于(1-D^2-D)^n项, 展开之后仍然可以找到1+k_1D+k_2D^2,因此不能这么展开,否则无法终止)
(另外一种凑1的方法就是因式分解frac{1}{D^2+D}x^2 = frac{1}{D(D+1)}x^2 = frac{1}{D}*frac{1}{D+1}x^2)
(之后再处理frac{1}{D+1}x^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2, 最后处理frac{1}{D}(x^2-2x+2)=frac{1}{3}x^3-x^2+2x)
(类型4. f(x) = e^{kx}*g(x))
解决策略:
移位公式(:frac{1}{F(D)}e^{kx}g(x) = e^{kx}frac{1}{F(D+k)}g(x))
之后按照(g(x))的类型进行求解即可, 属于类型2,3里面重复的内容
(类型5. f(x) = P_n(x)*sin(ax)或P_n(x)*cos(ax))
解决策略:
欧拉公式(:e^{ix} = cosx + i*sinx)
(frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)] =Im {frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x)]})
(frac{1}{F(D)}[e^{(i*ax)}*P_n(x) xlongequal{移位公式}e^{(i*ax)}frac{1}{F(D+i*ax)}P_n(x),同上)
(Im{})表示对计算结果取虚部