稀疏自动编码器 (Sparse Autoencoder)

摘要: 一个新的系列,来自于斯坦福德深度学习在线课程:http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL_Tutorial。本文梳理了该教程第一部分的内容,主要包括人工神经网络入门、反向传递算法、梯度检验与高级优化 和 自编码算法与稀疏性等要点。最后以课程作业作为总结和练习。

前言

斯坦福深度学习在线课程是 Andrew Ng 编制的,该教程以深度学习中的重要概念为线索,基本勾勒出了深度学习的框架。为了简明扼要,该教程几乎省略了数学推导和证明过程。我写这个系列不追求概念的讲解,因为教程已经解释的很清楚了,我的目标是把教程所省略的一些关键的数学推导给出来。因为数学原理是深入理解算法模型所绕不过去的,其次,几篇博客也是我的课程笔记,留作以后查阅使用。

综上,如果您已经阅读了对应的教程并理解了主要概念,这一系列能帮您查漏补缺深化理解,否则您会觉得文章的逻辑不连贯。

人工神经网络

人工神经网络的“学习”原理很简单:

每层都有若干个节点,每个节点就好比一个神经元(neuron),它与上一层的每个节点都保持着连接,且它的输入是上一层每个节点输出的线性组合。每个节点的输出是其输入的函数,把这个函数叫激活函数(activation function)。人工神经网络通过“学习”不断优化那些线性组合的参数,它就越有能力完成人类希望它完成的目标。

除了输入层(第1层)以外,第 l +1 层第 i 个节点的输入为:

其中是第 l 层的节点数。

l +1 层第 i 个节点的输出为:

l =1 时:

函数  f  就是激活函数。激活函数最常用的有两种:

sigmoid 函数

双曲正切函数

它们的函数曲线类似,都在(-∞,+∞)上单调递增:

sigmoid 函数值域为(0, 1);而双曲正切函数的值域为(-1,1)。

对人工神经网络进行训练,就是为了得到最优的线性组合参数:

其中是网络的总层数。

给定 m 个训练数据:

要用这些数据训练人工神经网络,使它能够对新的输入数据做正确的分类或拟合,首先要保证它在已有的数据上有足够高的正确率。

使用代价函数(Cost Function)来衡量人工神经网络在已有数据上所犯错误的大小:

注意,代价方程有多种形式,只要能反映预测误差即可。

对于单条数据 ,其代价方程为:

可见总代价方程是每条数据代价方程的算术平均。

在优化时,代价方程还会加上一个规则化项,其目的是减小权重的幅度,防止过度拟合:

反向传播算法

反向传播算法从输出层开始,反向计算每个节点的残差,并用这些残差计算代价方程对每一个参数的偏导数。

反向传播算法的数学推导过程我在 这篇 文章里已经详细给出,这里在给出一个简洁版本。

对于一个样例 :

将公式向量化:

对于整个样本集:

自编码算法与稀疏性

自编码器要求输出尽可能等于输入,并且它的隐藏层必须满足一定的稀疏性,即隐藏层不能携带太多信息。所以隐藏层对输入进行了压缩,并在输出层中解压缩。整个过程肯定会丢失信息,但训练能够使丢失的信息尽量少。

为了保证隐藏层的稀疏性,自动编码器的代价方程加入了一个稀疏性惩罚项:

其中:

因为代价方程多了一项,所以梯度的表达式也有变化:

稀疏性惩罚项只需要第 1 层参数参与计算,令

所以

所以

相当于

变成

可视化自动编码器的训练结果

训练完(稀疏)自编码器,我们还想把这自编码器学到的函数可视化出来,好弄明白它到底学到了什么。

已知:

什么样的输入 x 可让 得到最大程度的激励?

假设输入有范数约束:

要使 最大,只需要使

最大即可,因为 f 是单调递增函数(此处忽略了截距项),令其为表达式(1)。

使(1)取得最大值的 x 一定满足:

因为超平面的最值一定在闭合区域的边界上取得。

把(1)改写成:

表达式(1)可重写为:

这是两个模为1的向量的内积乘以一个常数,当两个向量重合时它取到最值,即:

最值为:

课后练习

在 MATLAB 命令行界面输入:

执行结果:

训练结果可视化:



参考文献:https://my.oschina.net/findbill/blog/541143

原文地址:https://www.cnblogs.com/yifdu25/p/8429763.html