$f(z)$在有界閉集$F$上連續，則有這樣的正實數$M$存在，使得不等式
\begin{equation}
\label{eq:2.00}
|f(z)|\leq M
\end{equation}在集$F$的所有點處都成立.
證明:$F$只不過是平面上的點集$A\times B$.其中$A\subset\mathbf{R},B\subset\mathbf{R}$.易得$A,B$都是$\mathbf{R}$上的有界閉集(爲什麼?)設$\forall z=x+iy\in F$,$f(z)=m(x)+i n(y)\in f(F)$.因爲$f(z)$在$F$上連續，因此$m(x),n(y)$分別在$A,B$連續,(爲什麼?)再結合數學分析裏的內容，我們知道$\{m(x)|x\in A\}$是有界的，$\{n(y)|y\in B\}$也是有界的(爲什麼?).因此$f(z)$在$F$上是有界的.