先看两个命题:
一致收敛的柯西条件:设$\{f_n\}$是定义在集合$S$上的函数序列.于是，存在一个函数$f$使得$f_n\to f$一致于$S$,当且仅当下述条件得到满足:对于每一个$\varepsilon>0$都存在$N$使得只要$m>N$且$n>N$,就对于$S$内的每个$x$都有$$|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon$$
级数一致收敛的柯西条件:$\sum f_n(x)$在$S$上一致收敛,当且仅当对于每个$\varepsilon>0$都有$N$使得只要$n>N$就对于每个$p=1,2,\cdots $和$S$内的每个$x$都有$$|\sum_{k=n+1}^{n+p}f_k(x)|<\varepsilon$$
这两个命题的证明都是很容易的.我把它们放在这儿仅仅是为了存档.
注:由级数一致收敛的柯西条件容易推出 魏尔斯特拉斯 M-检验法(具体怎么做?提示:使用三角不等式):设$\{M_n\}$是一个由非负数组成的序列，对于$n=1,2,\cdots$及$S$内的每个$x$有$$0\leq |f_n(x)|\leq M_n$$于是，如果$\sum M_n$收敛，则$\sum f_n(x)$在$S$上一致收敛.