一集合$R$,同时拥有两种二元运算$+$与$\times$成一环，假若
1.$R$关于加法+形成交换群.
2.乘法结合律：$\forall a,b,c\in R$,$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
3.加乘分配律：
$$\forall a,b,c\in R,a\times (b+c)=a\times b+a\times c$$
$$\forall a,b,c\in R,(b+c)\times a=b\times a+c\times a$$
性质1：若环R有乘法单位元，则单位元是唯一的.
证明：环$R$中存在单位元的意思是：存在元素$e$,使得对于一切$a\in R$,有$ae=ea=a$.我们知道，若有两个单位元$e$,$e^{'}$,则$ee^{'}=e,ee^{'}=e^{'}$,所以$e=e^{'}$.证毕.
注1:我们发现，这里和群中单位元的唯一性的证明没有不同，这说明单位元只要存在，就是唯一的.
性质2：环R中，若a可逆，则a的逆元是唯一的.
证明：a可逆的意思是存在$b\in R$,$ab=ba=e$.(可见，乘法逆元的存在要以单位元的存在为前提，单位元一旦存在，则单位元是唯一的，可见，定义是合理的)我们发现，这时候，环关于乘法满足结合律，单位元存在，逆元存在，即环中有逆元的元素连同其逆元形成的集合关于乘法形成了一个群,这个群称为$R$的单位群.因为是群，所以逆元是唯一的.顺便说一句，如果排除掉运算的干扰，这个单位群再加上加法零元就能形成环R的话，R就叫做除环.交换的除环是域.也就是说，域关于加法形成一个交换群，域内把加法零元排除掉后，关于乘法也形成一个交换群.
注:除环首先是一个环.只不过它还满足
1.$R\backslash\{0\}$关于$\times$构成一个群.其中$0$是加法零元.
乘法非交换的除环叫做体，乘法交换的除环叫做域.除环中把“乘法逆元唯一存在”这条删去，$R$就构成了交换环.
性质3：设R为环,则
(1)$0a=a0=0,\forall a\in R$.
证明:(0+0)a=0a+0a=0a,因为环关于加法构成交换群,所以0a=0.a(0+0)=a0+a0=a0,同样，因为环关于加法构成群，根据群论的知识便可以得出a0=0.
(2)(-a)b=a(-b)=-(ab);(-a)(-b)=ab;$\forall a,b\in R$
证明：(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0.a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0,所以(-a)b=a(-b)=-(ab).而(-a)(-b)+(-a)b=(-a)0=0,所以(-a)(-b)=ab.
(3)如果R是有单位元的非零环，则单位元1不等于零元0.这里零环指的是只有一个元的环，非零环指的是多于一个元的环.
证明：如果单位元1等於零元0的話，那么对于不是零元的环的元素a有1a=a=0,矛盾.