设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.
证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首先空集和全集都属于 $\tau$.其次,$X\bigcap X=X\in\tau$,$X\bigcap \emptyset=\emptyset\in \tau$,$\emptyset\bigcap\emptyset=\emptyset\in\tau$.而且,$X\bigcup X=X\in\tau,X\bigcup\emptyset=X\in\tau$,$\emptyset\bigcup\emptyset=\emptyset\in\tau$.
因此 $(X,\tau)$ 是一个拓扑.下面证明当 $X$ 的元素多于一个时,平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.这是因为当 $X$ 上的元素多于一个时,产生的拓扑是 $(X,2^X)$,易得不是平凡拓扑.
下面证明 $X$ 是紧致的,即证明 $X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖,这太简单了,因为 $X$ 本身就覆盖 $X$,而 $\emptyset$ 却不能覆盖 $X$ 中的任意一个元素.
下面证明 $X$ 是连通的,这是很容易的,因为假设 $X$ 是不连通的,则 $X$ 可以分为两个互不相交的开集的并,且该两开集非空,但是 $\emptyset$ 就是空的,矛盾了.