本文作为多元微分学的第二个小结,第一个小结在这里.本文的主要参考文献是《陶哲轩实分析》以 及维基百科的相应页面.本文的价值在于,两个定理的证明都是笔者自己做出来的.
Theorem 1 (反函数定理) 设 $ E$ 是 $ mathbf{R}^n$ 的开集 合,并设 $ f:E ightarrowmathbf{R}^n$ 是 在 $ E$上连续可微的函数.假设$ x_0in E$ 使得线性映射 $ f'(x_0):mathbf{R}^n ightarrow mathbf{R}^n$ 是可逆的,那么 存在含有 $ x_0$ 的开集 $ Usubset E$ 以及含有$ f(x_0)$ 的开集 $ Vsubset mathbf{R}^n$,使得函数 $ f$ 是从 $ U$ 到 $ V$的双射footnote{严格地来说,此 时函数 $ f$ 的定义域已经改变,从 $ E$ 变成了 $ U$,已经不再是同一个函数,但 是这影响不大,我们忽略这种差别.}.而且 $ f$ 的逆映射 $ f^{-1}:V ightarrow U$ 在点 $ f(x_0)$处可微,满足$ {displaystyle (f^{-1})'(f(x_0))=(f'(x_0))^{-1}.}$
Proof: 首先我们证明存在开集 $ Vsubset mathbf{R}^n$,使得 $ f(x_0)in V$,且满 足$ f:f^{-1}(V) ightarrow V$ 是双射footnote{易得一旦 $ V$ 是开集,则根据 $ f$的 连续性,$ f^{-1}(V)$ 是开集,因此就可以令 $ f^{-1}(V)=U$.}.我们使用反证 法.假如不存在这样的$ f^{-1}(V)$,则对于含有点 $ x_0$ 的 $ mathbf{R}^n$的 任意开集 $ K$来说,都存在 $ x_1 eq x_2$,且 $ x_1,x_2in Kigcap E$,使得 $ f(x_1)=f(x_2)$ 成立.我们知道,
$ {displaystyle f(x_1)=f(x_2)+f'(x_2)(x_1-x_2)+o(||x_1-x_2||). (1)}$
由于 $ f(x_1)=f(x_2)$,因此式1化为
$ {displaystyle f'(x_2)(x_1-x_2)=o'(||x_1-x_2||). (2)}$
$ {displaystyle f'(x_2)e=frac{o'(||x_1-x_2||)}{||x_1-x_2||}. (3)}$
其中 $ e=frac{x_1-x_2}{||x_1-x_2||}$ 是单位向量.令开集 $ K$ 的直径趋 于0,则
$ {displaystyle f'(x_2)e ightarrow 0. }$
且由于导函数的连续性,$ f'(x_2) ightarrow f'(x_0)$.因此我们有
$ {displaystyle f'(x_0)e ightarrow 0. }$
然而由于 $ f'(x_0)$ 是可逆线性映射,而单位向量 $ e$ 在可逆线性映 射$ f'(x_0)$ 的作用下,$ ||f'(x_0)e||$ 肯定不小于一个固定的正实 数footnote{具体证明涉及矩阵的奇异值分解.$ ||f'(x_0)e||$ 的最小值 为$ frac{1}{||A^{-1}||}$,其中矩阵 $ A$ 是线性映射 $ f'(x_0)$ 对应的矩 阵,$ ||A^{-1}||$ 代表 $ A$ 的逆矩阵 $ A^{-1}$ 的范数.}.因此矛盾.可见,假 设错误,于是,存在开集 $ Vsubset mathbf{R}^n$,使得 $ f(x_0)in V$,且满足 $ f:f^{-1}(V) ightarrow V$ 是双射.
下面我们证明逆映射 $ f^{-1}$ 在 $ f(x_0)$ 处可微,且
$ {displaystyle (f^{-1})'(f(x_0))=(f'(x_0))^{-1}. (4)}$
这是比较简单的.由于 $ f$ 在 $ x_0$ 处可微,因此
$ {displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||). }$
将上式稍微变形一下,即可证明式 4,同时也证明 了 $ f^{-1}$ 在$ f(x_0)$ 处的可微性. $ Box$ 至于隐函数存在定理,只是反函数定理的一个推论.下面关于隐函数存在定理的陈 述来自维 基百科的相应页面.
Theorem 2 (隐函数存在定理) 设 $ f:mathbf{R}^{n+m} ightarrow mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ mathbf{(x,y)}=(x_1,cdots,x_n,y_1,cdots,y_m)$ 的形式.对于任意一 点$ (mathbf{a,b}) = (a_{1},cdots, a_{n}, b_{1},cdots,b_m)$ 使得$ f(mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断能否在$ (mathbf{a,b})$附近定义一 个$ mathbf{y}$关于$ mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(mathbf{x,y})=0$,就有 $ mathbf{y}=g(mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ mathbf{a}$和$ mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并且$ g$的函数图像满足$ {displaystyle { (mathbf{x}, g(mathbf{x})) } = { (mathbf{x}, mathbf{y}) | f(mathbf{x}, mathbf{y}) =0 } cap (U imes V).}$
要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做$ {displaystyle (Df)(mathbf{a},mathbf{b}) = left[egin{matrix} frac{partial f_1}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_1}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_m}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_m}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b}) end{matrix} ight|left. egin{matrix} frac{partial f_1}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_1}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_m}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_m}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ end{matrix} ight] = [X|Y] }$
隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一 个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.
Proof: 当 $ mathbf{x}$ 取定值 $ mathbf{x_0}$ 时,$ f(mathbf{x,y})$ 变成了从 $ mathbf{R}^m$ 到 $ mathbf{R}^m$ 的映射 $ f(mathbf{x_{0}},mathbf{y})$,其中 $ f(mathbf{mathbf{x_{0}},y})$ 的自变量为 $ mathbf{y}$.$ f(mathbf{x_0,y})$ 易得也是连续可微函 数footnote{为什么?}.$ f(mathbf{x_0,y})$ 在点 $ mathbf{b}$ 处的导数对应的雅可比矩 阵易得为
$ {displaystyle egin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial y_1}(mathbf{x_0,b})&cdots&frac{partial f_1}{partial y_m}(mathbf{x_0,b})\ vdots&ddots&vdots\ frac{partial f_m}{partial y_1}(mathbf{x_0,b})&cdots&frac{partial f_m}{partial y_m}(mathbf{x_0,b})\ end{bmatrix}. }$
令邻域 $ U$ 的直径足够小,则 $ mathbf{x_0}$ 会与点 $ mathbf{a}$ 足够接近.由 于以 $ mathbf{y}$ 为自变量的函数 $ f(mathbf{a,y})$ 在点 $ mathbf{b}$ 的导函数可逆,由 $ f$ 的导函数的连续性,我们会得到 $ f(mathbf{x_0,y})$ 在 $ mathbf{b}$ 点的导数也可逆.因此根据反函数定理,可得 $ f(mathbf{x_0,y})$ 是 $ U$ 上的可逆函数.因 此当 $ f(mathbf{x_0,y})=0$ 时,$ mathbf{y}$ 值将唯一,不妨记做 $ mathbf{y_0}$.综上可见,当 $ mathbf{x}$ 取定值时,$ mathbf{y}$ 也会随之 取定值,可见,函数 $ g$ 是存在的,$ g(mathbf{x_0})=mathbf{y_0}$. $ Box$