Lct浅谈

1.对lct的认识

　　首先要知道$lct$是什么。$lct$的全称为$link-cut-tree$。通过全称可以看出，这个数据结构是维护树上的问题，并且是可以支持连边断边操作。$lct$是一种动态树，可以处理动态森林问题，并支持查询与修改。

2.前置知识

　　在学习$lct$之前，建议先学习一下树链剖分，以及树链剖分套线段树，因为$lct$的思想与其相似，且树链剖分套线段树维护的是静态树，并且好实现。并且在$lct$的代码实现中我们要用到$splay$这个小小的知识点，所以建议学一下。

3.$lct$的讲解

　　我们先看树链剖分套线段树，这是先将整棵树构建好，我们直接在构建的树上进行树剖，并在树剖序上建出线段树，直接在线段树上乱搞就好了。我们想怎么能将静态树变成动态树呢？由于线段树是静态的，不能支持插入，所以我们需要改变我们所运用的数据结构，我们将线段树改变成为$splay$。

　　在$lct$中我们需要讲解八个操作。在讲解这些操作之前，我们需要知道一些名词以及其含义。

　　1) 辅助树与虚子树：我们在$lct$这个算法中要运用到$splay$，这个$splay$的运用之处与树剖中线段树的运用之处基本相似。$splay$是用来维护这棵树上的链，一个链就是一个$splay$。这些$splay$所构成的东西就叫辅助树。维护辅助树的关键字是当前节点的深度，也就是一个$splay$上的一个节点的右儿子的子树中的所有点的深度都要比当前点的深度小，反之都大。但是我们用$splay$维护了链，这些$splay$怎么连到一起？我们在维护$splay$的时候要记录当前节点的父亲，到整棵$splay$的根节点是没有的父亲的，这时我们将这个根的父亲指到整个链顶在原树中的父亲就好了，这是我们称原树中的链顶的父亲有一个虚子树，这棵虚子树就是整个链的$splay$。

　　知道上面两个名词之后，我们来讲解一下操作：

　　1) $Splay$：这个操作就是将当前节点旋转成为当前节点所在$splay$的根。这个操作要配合$rotate$来实现，这两个函数和正常的$splay$没有太大的区别，只是判根不一样，这里的判根是看当前节点的父亲的两个儿子是否都不等于自己，如果是则为根，反之不是。

bool check(int p) {return son[fa[p]][1]==p;}
bool isroot(int p) {return son[fa[p]][0]!=p&&son[fa[p]][1]!=p;}
void rotate(int p)
{
	int tmp1=fa[p],tmp2=fa[tmp1],tmp3=check(p);
	fa[son[tmp1][tmp3]=son[p][tmp3^1]]=tmp1,fa[p]=tmp2;
	if(!isroot(tmp1)) son[tmp2][check(tmp1)]=p;
	fa[son[p][tmp3^1]=tmp1]=p,pushup(tmp1),pushup(p);
}
void splay(int p)
{
	update(p);
	for(int i;i=fa[p],!isroot(p);rotate(p))
		if(!isroot(i)) rotate(check(p)==check(i)?i:p);
}

　　2) $Access$：这个操作是将当前节点到当前节点所在辅助树的根的链变为一颗$splay$，代码不难理解。

void access(int p)
{
	for(int t=0;p;t=p,p=fa[p]) splay(p),pushup(p);
}

　　3) $Makeroot$：这个操作是将当前节点变为当前节点所在辅助树的根。显然这个操作就是将当前节点先$Access$一下，再将当前节点$Splay$一下。由于希望保证时间复杂度，所以我们将当前

void makeroot(int p)
{
    access(p),splay(p),swap(son[p][0],son[p][1]),rev[p]^=1;
}

　　4) $Update$：这个函数的功能在上面已经提到。

void pushdown(int p)
{
	if(!rev[p]) return;
	swap(son[son[p][0]][0],son[son[p][0]][1]);
	swap(son[son[p][1]][0],son[son[p][1]][1]);
	rev[son[p][0]]^=1,rev[son[p][1]]^=1,rev[p]=0;
}
void update(int p)
{
    if(!isroot(p)) update(fa[p]);pushdown(p);
}

　　5) $Pushup$：这个操作就是用来统计答案的，类似于线段树上的$pushup$。

void pushup(int p)
{
    if(p) size[p]=1+size[son[p][1]]+size[son[p][0]];
}

　　6) $Link$：这个操作就是连边，将$x，y$连接在一起。我们需要先$Makeroot(x)$，并$Makeroot(y)$。这样我们就可以直接将$fa[x]=y$，这样我们将以$x$为根的辅助树变为以$y$为根的辅助树的虚子树，这样就解决了。

void link(int x,int y)
{
    makeroot(x),makeroot(y),fa[x]=y,ord[y]+=size[x];
}

　　7) $Cut$：这个操作就是断边，将$x，y$所连接的边断开。我们先$Makeroot(x)$，并$Access(y)，Splay(y)$，这时$y$的左儿子就是$x$，所以只需要$son[y][0]=fa[x]=0$就好了。

void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x),access(y),splay(y),son[y][0]=fa[x]=0;
}

　　8) $Find$：这个操作是用来寻找当前节点所在辅助树中的根是谁。

int find(int x)
{
    access(x),splay(x);
    while((son[x][0]&&rev[x]==false)||(son[x][1]&&rev[x])) pushdown(x),x=son[x][0];
    return x;
}

　　整合一下，就是下面的模板：

bool check(int p) {return son[fa[p]][1]==p;}
bool isroot(int p) {return son[fa[p]][0]!=p&&son[fa[p]][1]!=p;}
void pushdown(int p)
{
	if(!rev[p]) return;
	swap(son[son[p][0]][0],son[son[p][0]][1]);
	swap(son[son[p][1]][0],son[son[p][1]][1]);
	rev[son[p][0]]^=1,rev[son[p][1]]^=1,rev[p]=0;
}
void pushup(int p) {if(p) size[p]=1+size[son[p][1]]+size[son[p][0]];}
void update(int p) {if(!isroot(p)) update(fa[p]);pushdown(p);}
void rotate(int p)
{
	int tmp1=fa[p],tmp2=fa[tmp1],tmp3=check(p);
	fa[son[tmp1][tmp3]=son[p][tmp3^1]]=tmp1,fa[p]=tmp2;
	if(!isroot(tmp1)) son[tmp2][check(tmp1)]=p;
	fa[son[p][tmp3^1]=tmp1]=p,pushup(tmp1),pushup(p);
}
void splay(int p)
{
	update(p);
	for(int i;i=fa[p],!isroot(p);rotate(p))
		if(!isroot(i)) rotate(check(p)==check(i)?i:p);
}
void access(int p) {for(int t=0;p;t=p,p=fa[p]) splay(p),son[p][1]=t,pushup(p);}
void makeroot(int p) {access(p),splay(p),swap(son[p][0],son[p][1]),rev[p]^=1;}
void link(int x,int y) {makeroot(x),makeroot(y),fa[x]=y,ord[y]+=size[x];}
void cut(int x,int y) {makeroot(x),access(y),splay(y),son[y][0]=fa[x]=0;}