对于 $n$ 个正数 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$，它们的算数平均不小于它们的几何平均，即
$$frac{a_{1} + a_{2} + cdots + a_{n}}{n} geq sqrt[n]{a_{1}a_{2}cdots a_{n}}$$
当且仅当 $a_{1} = a_{2} = cdots = a_{n}$ 时，等号成立。
证明：
采用数学归纳法证明：
1）当 $n = 1$ 时：显然成立。
2）当 $n = 2$ 时，由基本不等式可知，式子成立。
3）假设 $n = k-1$ 时，不等式成立，即
$$frac{a_{1}, a_{2}, cdots, a_{k-1}}{k-1} geq sqrt[k-1]{a_{1}a_{2}cdots a_{k-1}}$$
当 $n = k$ 时，为了方便推导，记
$$A_{k} = frac{a_{1}, a_{2}, cdots, a_{k}}{k} ;;;;; G_{k} = sqrt[k]{a_{1}a_{2}cdots a_{k}}$$
令
$$a_{1} = min left { a_{i} | i = 1,2,cdots,k
ight } \
a_{k} = max left { a_{i} | i = 1,2,cdots,k
ight }$$
显然
$$a_{1} leq A_{k} leq a_{k} \
Rightarrow (a_{1} - A_{k})(a_{k} - A_{k}) leq 0 \
Rightarrow (a_{1} + a_{k} - A_{k})A_{k} geq a_{1}a_{k} ;;;;;;;;;;;; (1)$$
所以
$$A_{k} = frac{(k-1)A_{k}}{k-1} = frac{kA_{k} - A_{k}}{k-1}
= frac{a_{1}, a_{2}, cdots, a_{k} - A_{k}}{k-1} \
= frac{(a_{2}+cdots+a_{k-1}) + (a_{1} + a_{k} - A_{k})}{k-1} \
geq sqrt[k-1]{a_{2} cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})}$$
$$Rightarrow ;A_{k}^{k-1} geq a_{2} cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})$$
上式两边同时乘上 $A_{k}$ 且根据 $(1)$ 式有
$$A_{k}^{k} geq a_{2} cdots a_{k-1}(a_{1} + a_{k} - A_{k})A_{k} geq a_{2} cdots a_{k-1}a_{1}a_{k} = G_{k}^{k} \
Rightarrow A_{k} geq G_{k}$$
证毕