在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法和 KKT 条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用 KKT 条件。
1 无约束条件
这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于 $0$ 的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。
2 等式约束条件(拉格朗日条件)
考虑约束最优化问题：
$$min ; f(x) \
s.t. ;;; g_{i}(x) = 0 ;;; i = 1,2,cdots, k$$
问题有 $k$ 个等式约束，$x$ 是一个 $n$ 维的向量，即 $x = (x^{(1)}, x^{(2)}, cdots, x^{(n)})^{T}$。
如果我们想绘制函数 $f(x)$ 和 $g_{i}(x)$，那需要在 $n + 1$ 维空间，而绘制 $f(x) = C_{1}$ 和 $g_{i}(x) = C_{2}$ 需要在 $n$ 维空间。
1）关于等高(值)线
那么降一个维度后，图像 $f(x) = C_{1}$ 和 $g_{i}(x) = C_{2}$ 代表什么呢？
a. $f(x) = C_{1}$ 表示函数 $f(x)$ 的等高线，$C_{1}$ 可以取任意值，$n$ 维空间中的任意一个点都会有一条与之对应的等高线，在这条线上，函数值相同。
b. $g_{i}(x) = C_{2}$ 表示函数 $g_{i}(x)$ 的等高线，因为约束条件 $g_{i}(x) = 0$($C_{2} = 0$)，所以每个约束函数只对应一条等高线。
在 $n$ 维空间中，设所有约束函数的等高线相交的图像为 $M$，我们的目标是在 $M$ 上找到函数 $f(x)$ 的局部极值。
注意：$M$ 上的任意一个点肯定都会对应一条 $f(x)$ 的等高线，推广到高维，这个等高线就是代表一个线性空间。
2）梯度向量和等值线的关系
理解了等高线(等值线)，还需要知道某点的梯度方向和过这一点的等高线的关系。
多元函数中的方向导数指的是 $xoy$ 平面上的一个矢量，梯度方向代表所有方向中函数值增长最快的方向，我们知道等高线上所有点的函数值
都是相等的，所以某点的梯度方向必然不会是与等高线相切，那应该怎么移动呢？
先给出结论：梯度方向与等高线的切线方向垂直。
证明：
对于任意一条等高线 $f(x,y) = C$，其上任意一点的切线斜率为：
$$k = -frac{f_{x}^{'}}{f_{y}^{'}}$$
所以该点的法线斜率为：
$$k^{'} = -frac{1}{k} = frac{f_{y}^{'}}{f_{x}^{'}}$$
又该点的梯度向量为：
$$(frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y})$$
梯度向量的斜率和法线向量的斜率是一样的，所以梯度方向和法线方向是一样的。
证毕
3）关于可行域
所有不等式约束和等式约束会有一个交集，交集可以是一个点，一个曲面或一个高维的线性空间，将这个交集称为可行域，
可行域内的点才满足约束条件，所以必须在可行域内考虑问题。
现在假设有 $k$ 个约束条件：$g_{1}(x),g_{2}(x),cdots,g_{k}(x)$，它们的可行域为 $S$，在 $S$ 上取一点 $(x,y)$，那么各约束条件在该
点处的梯度 $ abla g_{1}(x), abla g_{2}(x),cdots, abla g_{k}(x)$ 和可行域方向有什么联系呢？
高维空间想象不出来，我们先考虑二维和三维(即约束条件是一元或二元函数)，然后进行推广。
a. 当 $k = 1$ 时，那么约束条件本身就是可行域，在曲面或曲线上任一点的任意切线方向(即可行域方向)与该点的梯度必然相互垂直。
b. 当 $k = 2$ 时，且约束条件是 $2$ 个曲面，那么可行域就是它们的交线，交线上任意一点处的切线是两个约束曲面 $g_{1}(x),g_{2}(x)$在该点
处切平面的交线，而梯度 $ abla g_{1}(x), abla g_{2}(x)$ 是各自切平面的法线，所以可行域方向会垂直于 $ abla g_{1}(x), abla g_{2}(x)$。
所以：可行方向的全体是 $ abla g_{1}(x), abla g_{2}(x),cdots, abla g_{k}(x)$ 张成的线性子空间的正交子空间。
4）可行域内某点为极值的条件
我们先考虑二维和三维(即约束条件是一元或二元函数)，然后进行推广。
a. 首先来看一个例子：
$$max/min ; f(x,y) = x^{2} + y^{2}\
s.t. ; x^{2}y = 3 $$
如上图所示，蓝线是约束，点只能在上面移动，红线是目标函数的等高线，有无数条。蓝线和红线一共就两种情况：
i：蓝线与红线相交
如图中 $C$ 点，这样的点会成为极值点吗？
因为是相交的，那么蓝线上的点便可以穿过红线，此时不妨假设目标函数 $f(x)$ 在点 $C$ 处的梯度向量朝外，如图中 $ abla f$。
那么在这个相交点 $C$ 的邻域内，$C$ 点若移动到 $C_{1}$ 处，此时函数值便会增加，若向下移动到 $C_{2}$ 处，此时函数值
就会减少，所以 $C$ 点或者任一相交点不满足极值的条件，在相交点处，均可再继续移动来使函数值增大或者减小。
ii：蓝线与红线相切
如图中 $A,B$ 两点，这样的点会成为极值点吗？
在 $A$ 点的邻域内，$A$ 点到蓝线(邻域内)上的任意一点的方向必然与梯度向量的夹角均为锐角或钝角，对 $B$ 点也是如此，所以
在 $A$ 点或 $B$ 点处再移动点，只能导致函数值超一个方向变动，即只增大或只减少。
所以 $A$ 点和 $B$ 点都是约束条件下的极值点。
b. 下面再来看一个例子，如下图
i：曲线 $L$ 和 $f(x)$ 的等高面相交
如上右图所示，和上面的分析类似，在 $O$ 点的邻域内，红线上的点可以继续向上或向下移动，向上移动则函数值继续增加(因为梯度方向
和切线方向夹角为锐角)，向下移动则函数值会减少，所以交点不会是极值点。
ii：曲线 $L$ 和 $f(x)$ 的等高面相切
此处不再赘述，切点是极值点。
综上分析得：只有可行域和目标函数等高线相切的点才会是极值点，即可行域方向和目标函数的梯度方向互相垂直的点才会是极值点，
也可以说，某点的 $ abla f(x)$ 必须落在对应的 $ abla g_{1}(x), abla g_{2}(x),cdots, abla g_{k}(x)$ 张成的线性子空间中(线性表示)，该点才会成为极值点。
为求解极值点，可列方程：
$$left{egin{matrix}
abla f = lambda_{1}
abla g_{1} + lambda_{2}
abla g_{2} + cdots + lambda_{k}
abla g_{k} \
g_{i} = C_{i}, ;;; i = 1,2,cdots,k
end{matrix}
ight.$$
这样约束问题就变成了一个无约束问题，即下面两个问题是等价的：
$$left{egin{matrix}
min_{x} ; f(x) \
s.t. ;;; g_{i}(x) = 0 ;;; i = 1,2,cdots, k
end{matrix}
ight.
; Leftrightarrow ;
min_{x,lambda}L(x,lambda) = f(x) + sum_{i=1}^{k}lambda_{i}g_{i}(x)$$
3 不等式约束条件(KKT条件)
考虑约束最优化问题：
$$min ; f(x) \
s.t. ;;; g_{i}(x) leq 0, ;;; i = 1,2,cdots,k \
c_{j}(x) = 0, ;;; j = 1,2,cdots, l $$
问题有 $k$ 个等式约束和 $l$ 个不等式约束，$x$ 是一个 $n$ 维的向量，即 $x = (x^{(1)}, x^{(2)}, cdots, x^{(n)})^{T}$。
上面的问题比较复杂，现在考虑简单一点的情形，即只有一个不等式约束：
$$min ; f(x) \
s.t. ;;; g(x) leq 0 $$
拉格朗日函数：
$$L(x,lambda) = f(x) + lambda g(x)，lambda geq 0$$
那么就只有如下两种情形：
1）$f(x)$ 在约束条件下的极值点本身就在可行域里面(如上左图)
如果不是相切，那么对任意一个在可行域中的点，如果在它附近往里走或者往外走，$f(x)$ 一般都会变大或者变小，所以绝大部分点都不会是极值点。
除非这个点在可行域内部，且本身就是 $f(x)$ 的极值点。这样的话，不等式约束就失效了，直接求 $f(x)$ 的极小值点即可。求解方程为：
$$left{egin{matrix}
abla f = 0\
g(x) < 0 \
lambda = 0
end{matrix}
ight.$$
2）$f(x)$ 在约束条件下的极值点还是在 $g(x) = 0$ 边界曲线上(如上右图)
对于这种情况，不等式约束就变成等式约束了，这时就可以使用 $2$ 中介绍的方法，所求解的方程为：
$$left{egin{matrix}
abla f + lambda g = 0\
g(x) = 0 \
lambda geq 0
end{matrix}
ight.$$
下面解释下为什么 $lambda geq 0$。
图中阴影部分是可行域，边界上的点 $x^{*}$ 为最终所求的极值点，讨论如下两个梯度方向：
a. 约束函数 $g(x)$ 在点 $x_{*}$ 处的梯度方向：因为阴影部分 $g(x) < 0$，那个方向的函数值更小，所以 $g(x)$ 的梯度是指向大于 0 的一侧，
也就是不是可行域的一侧。
b. 目标函数 $f(x)$ 在点 $x_{*}$ 处的梯度方向：因为已经假定极值点发生在边界曲线上，且所求的问题是极小值，如果 $ abla f$ 指向非阴影区域，
那么意味着梯度反方向指向可行域，那显然还可以继续往可行域移动找到函数值更小的点，所以 $f(x)$ 的梯度指向可行域的一侧。
因为极值点处 $ abla f$ 和 $ abla g$ 梯度方向相反，所以必须 $lambda leq 0$(可以为 $0$，意味着该点就是 $f(x)$ 的极小值点)。
综上可得求解方程组：
$$left{egin{matrix}
abla f + lambda g = 0\
g(x) leq 0 \
lambda geq 0 \
lambda g(x) = 0
end{matrix}
ight.$$
这个方程组就是该问题的 KKT 条件，只有满足这些条件才会存在极小值。
回到最初的问题，它的 KKT 条件为：
$$left{egin{matrix}
min_{x} ; f(x) \
s.t. ;; g_{i}(x) leq 0, ;;; i = 1,2,cdots,k \
c_{j}(x) = 0, ;;; j = 1,2,cdots, l
end{matrix}
ight. ; Leftrightarrow ;
left{egin{matrix}
abla f + sum_{i=1}^{k}lambda_{i}
abla g_{i} + sum_{j=1}^{l}mu_{j}
abla c_{j}= 0 \
g_{i}(x) leq 0, ; i = 1,2,cdots,k \
c_{j}(x) = 0, ; j = 1,2,cdots,l \
lambda_{i} geq 0, ; i = 1,2,cdots,k \
lambda_{i} g_{i}(x) = 0, ; i = 1,2,cdots,k
end{matrix}
ight.$$