基本图论-连通分量(强/弱联通 割点/边 边/点双)

前言

网上现存(60\%)的文章都有明显的误区，本文章经过多次修改，能保证正确性

• 本文涉及强连通分量、弱连通分量、割点、割边、边双、点双，属于基本图论范畴

• 在有着直接关联的基础上又有所不同，本文基于把抽象的数组转换为在图上的意义，旨在让初学者能更轻松地理解并区分差别

• 为避免各个板子的差别过大，在正确的基础上尽量保证代码的相似性

如果您之前学过，可能与您的定义有所不同，故请在看完每个算法下面的代码后再进行文字阅读

• 文字中某个词语后出现带圆框的数字，如①②，这些词语将会在文字下方有详细的注释，方便阅读

前置

我们简略地定义(dfs)树为遍历路程中路径所组成的一棵树，注意下面说的儿子、叶子节点、子树边界(()与子树直接相连的外部节点())等用法都从此基础上得出

如下图及(dfs)树，(3,7)为(1)的儿子，叶子节点为(2,5,6,8)，(7)的子树边界为({1}(1)与(7)和(8)直接相连())，如果新加一条边((3,4))，则(7)的子树边界为({1,3})

有向图

强连通分量

定义：有向图中某个点集中的点互相能到达的分量为强连通分量

为方便理解我们采取归纳法：找到完整强连通分量后立即染色

• 定义(dfn_u)：表示(dfs)中(u)的时间戳；初始化为第几个被遍历到的点。
• 定义(low_u)：表示(u)能到达且在(u)子树边界的未染色的最小时间戳①(()设代表该最小时间戳点的点为(x)，可证明(x)一定能与(u)组成强连通分量②())；初始化为(dfn_u)。

①：显然代表该最小时间戳的不为(u)的子树(()除(u))，因为子树内的时间戳(u)已经为最小的了。故(u)的子树并不影响(low_u)，真正影响的是(u)的子树外，与(u)子树有接触，且未染色的。

②：(()下图为例()x)位于(f)的左子树，(x)所在完整强连通内所有节点不止在左子树(()否则就染色了())，(x)至少能与(f)组成强连通分量。故(x)一定能与(u)组成强连通分量：(f ightarrow u ightarrow x ightarrow f)。

具体做法：在(u)的子树遍历完后，(low_u=dfn_u)则把栈顶到该点的区间染色(()与子树外单向联通，那(u)的子树未处理部分与(u)组成强连通分量())，否则要等回到某个祖先后染色才能分量的完整

code

也可更换第(7)行代码为：

else if(visit[v]) low[u]=std::min(low[u],low[v]);
//此时定义low：能与u组成强连通分量(未染色)的最小时间戳

void Tarjan(LL u){
    dfn[u]=low[u]=++tim; sta[++top]=u; visit[u]=true;
    for(LL i=head[u];i;i=dis[i].nxt){
        LL v(dis[i].to);
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v); low[u]=std::min(low[u],low[v]);
        }else if(visit[v]) low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u]==dfn[u]){
        LL now; ++nod;
        do{
            now=sta[top--]; col[now]=nod; visit[now]=false;③
        }while(now!=u);
    }
}

③：(visit)清空：强连通分量是建立在有向图上的，(u ightarrow v,v rightarrow u)时，如果之前先遍历过(v)，则已经把(visit)清空了，此时(u)不受(v)的任何影响

弱连通分量

定义：同一弱连通分量里的任意两个点(x,y)，保证至少一方能到达另一方

想象一下某个弱连通分量进行强连通缩点后的样子？能两两到达的肯定存在于同一个大点中了，剩下的肯定是单向联通，故一定是一条单直链

性质：某一点可能属于多个弱连通分量，显然，属于强连通分量的两点一定属于同一弱连通分量

做法：在强连通缩点后的(DAG)图中，每一条链就是一个弱连通分量

无向图

为了割点与桥的统一计算，在无向图中我们不管父亲(()类似树的遍历，遇到(f)则(continue))，稍后会说明原因

且重新定义：

• 定义(low_u)：(u)的子树与子树外接触的最小时间戳(()除((u,f))的影响,因为在遍历(u)时遇到(f)会跳过())

如下图，蓝边为(dfs)树，标号为时间戳，(6)的子树为({6,7,8,9})，子树与子树外的接触为((6,3),(7,5),(9,2))，故(low_6=2)

割点

定义：无向图中，将该点从原图中拿掉后，连通分量数量增加

想象一下割点在图上的样子：一个点至少夹在两个互不接触 (( 不考虑该点的连接作用 )) 联通块之间

为了便于理解，先想一下暴力做法④：特判每一个点，如果该点至少有两个儿子则说明为割点(()这些儿子所属的子树互不接触，否则仅需遍历一次，而该点位于子树之间，显然割掉后连通块个数=儿子个数())。时间复杂度(O(nm))

④：因为判断儿子得把整个子树全跑一遍。而每一次判断的儿子个数仅对根有效。因为根肯定得把一个子树的点遍历完才能回溯；其他的点由于顺序关系，入度也会成为一个儿子(()对于无根树())，实际上入度上方可能与儿子有接触，故不能一次性判断。比如下面的这幅图，从(1)开始遍历则(3)有两个儿子；但从(3(root))开始遍历：(3longrightarrow 2longrightarrow 1longrightarrow 12longrightarrow 13longrightarrow9longrightarrow8longrightarrow6longrightarrow7longrightarrow5longrightarrow4longrightarrow10longrightarrow11)，最后得到的是(3)只有一个儿子，所以(3)不为割点

转换成条件：对于((u,v),fa_v=u)，在割掉(u)后，(v)的子树与外界无任何接触。也就是(v)的子树仅与外界的(u)接触，则当割掉(u)后，多生成了一个联通分量。

抽象成代码：(uin Articulation Point longrightarrow low[v]>=dfn[u])

细节：如果我们首先遍历(u(root))，则无论怎样(low_v)都会(≥dfn_u(dfn_u=1))，则根据定义是把(u)判断为割点，其实不然⑤。

⑤：有时我们发现根不会为割点，这是为什么呢?因为(u)的子树就是所有点，故没有外界，也就是说特判一定满足，故该特判对其无效。

所以需要判断的是(u)是否有至少两个儿子(()原理就是上面的暴力做法())，否则就为无根树上的叶子节点了(()也就是边界())

code

void Tarjan(LL u,LL mr,LL f){
    LL rc(0);
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(LL i=head[u];i;i=dis[i].nxt){
        LL v(dis[i].to);
        if(v==f) continue;
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v,mr,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=mr)
                cut[u]=true;
            if(u==mr) 
                rc++;
        }else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }    
    if(u==mr&&rc>=2) 
        cut[mr]=true;
}

桥

定义：又称为割边，将该边从原图中拿掉后，连通分量数量增加

想象一下桥在图上的样子：一条边被两个不接触(()不考虑这条边的连接作用())的联通块夹在中间。

如下方，两个"(+)点"间的为桥

为了便于理解，先想一下暴力做法：枚举每一条边((x,y))从(x)节点出发不经过该边遍历一次，如果不能到达(y)则该边为桥。时间复杂度(O(m^2))

转换成条件：对于桥((u,f),fa_u=f)的，割掉((u,f))后，(u)的子树外界无任何接触。也就是除((u,f))外，(u)的子树的边仅局限在内部，相当于u的子树被一根线挂在(f)节点上。

抽象成代码：((u,v)in Bridgelongrightarrow low[v]>dfn[u])

void Tarjan(LL u,LL f){
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for(LL i=head[u];i;i=dis[i].nxt){
        LL v(dis[i].to);
        if(v==f) continue;
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>dfn[u]){
            	e[++tot][0]=u; e[tot][1]=v;
			}
        }else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

其实割点是可以考虑父亲的影响，而桥绝对不能

因为(f)为割点仅需要考虑(u)的子树最多遍历到(f)，也就是说((u,f))这条边对判断起不到任何影响

而桥((f,u))需要：除开这条边，(u)的子树最多遍历到(u)。如果考虑父亲的影响，(low_u)一定会受(dfn_f)的影响((low_u=dfn_f))，特判起来会变得十分麻烦

故为了代码的方便，在割点割边时不考虑父亲

边双连通分量

定义：简写为边双，同一边双内，点与点的边集中无桥

如下图，每种颜色的点为一个边双，之间由桥隔开

具体做法

• 两次遍历：这个就比较简单了，直接找出所有的桥删掉，然后遍历一遍染色就行了，因为桥已经被全部删掉，故每种颜色的分量的边集中肯定无桥

• 一次遍历：桥的定义入手，考虑桥((f,u))，(u)的子树局限于内部，故满足(low_u=dfn_u)；而同属(u)的边双内的任意点(x)，由于无桥，肯定不会局限于(x)的子树，故满足(low_x≠dfn_x)。与强连通分量的做法类似，判断(dfn_u=low_u)，把压进栈里的点取出来染色即可

void Tarjan(LL u,LL fa){
    dfn[u]=low[u]=++tim; sta[++top]=u;
    for(LL i=head[u];i;i=dis[i].nxt){
        LL v(dis[i].to);
        if(v==fa) continue;
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v,u); low[u]=std::min(low[u],low[v]);
        }else low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u]==dfn[u]){
        LL now; ++nod;
        do{
            now=sta[top--]; col[now]=nod;
        }while(now!=u);
    }
}

点双连通分量

定义：简写为点双，对于同属一个点双的任意点，删除后，该分量中的点仍能互相到达；或者说仅对于该分量而言，无割点。

具体做法：
依旧从割点的定义入手：割点将原图分成互不相连的多个联通块，显然每个联通块本身已经是一个点双了，但不完整，因为相邻的割点在边界，如果与联通块共同组成一个新联通块，割掉后也不会另外产生联通块(()相当于该连通块上的叶子节点())，所以需要加上来才完整(()故割点是会同时存在于多个点双中的())

我们怎么染色呢？可以发现在(dfs)树中，割点(u)在进行与儿子节点的染色时会分给多个点双，而在遍历完儿子后，与祖先将仅产生一个完整点双⑥。所以当(u)为割点，给儿子节点染色时，取到儿子借点就够了，栈中保留(u)，等到(u)的某个祖先后再取出来。

新建一个节点来维护某个点双，该点向该点双的每个点连一条边(()当然这是建立在新图上的())，这就是广义圆方树

⑥：如下图

void Tarjan(LL u){
    dfn[u]=low[u]=++tim; sta[++sta[0]]=u;
    for(LL i=G1.head[u];i;i=G1.dis[i].next){
        LL v(G1.dis[i].to);
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]){
                G2.Add(++tot,u); LL now(0);
                do{
                    now=sta[sta[0]--];
                    G2.Add(tot,now);
                }while(now!=v);
            }
        }else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}

例题一：[HNOI2012]矿场搭建

我们把每个点双看作一个分量

• 分量无割点：说明整个联通块就是一个点双，建两个出口，随便割一个由于点双的性质所有点都能出去

• 分量有一个割点：在除割点的地方建一个出口，割掉割点直接去分量里的出口，割掉出口通过割点跑到其他分量的出口中

再具体点就相当于多个点双构成了一棵树(()仅一个节点的树除外())，而我们仅在叶子节点建出口

例题二：[POI2008]BLO-Blockade

显然仅割点会对除本身以外的访问有影响，影响为多个分支所跨该割点访问数，

记分支的节点数分别为(size_1,size_2,...,size_k)，(sum=sumlimits_{i=1}^k size_i,ans=sumlimits_{i=1}^k size_icdot(sum-size_i)+(n-1)*2)

例题三：[ZJOI2004]嗅探器

其实就是求：多个点双构成的树，(x,y)所在节点间的割点

• 首先得所属节点不同：(low_y>=dfn_x)

• 其次得保证(u)是位于期间的割点：(dfn_u<=low_v)

• 且(u)的该分支(v)，(y)存在于子树(v)内：(dfn_v<=dfn_y)

例题四：HDU - 5215

纯奇环偶环通过dfs树上，染色判断（由于偶环可能有两个奇环，通过一点相交，dfs树上并不能判完）

两环如果相交必定形成偶环，由于不可以重复经过边，把每个边双提出来判断一下是否存在两个环以上即可

code