1. 逻辑回归模型概述
逻辑回归处理的是分类问题而不是回归问题。
1.1 线性模型为何失效
在数学上，如果用 y 表示选择的结果，那么 y 只有两种可能的取值：0 或者 1 。这就是二元分类问题。
如果使用 线性回归 模型解决二元分类问题，我们搭建的模型就是
对于真实值来说，只有两种可能 0 或者 1。但是模型预测的值却是整个实数系。这显然就不太合理。更重要的一点是，我们假设随机变量 ε 服从正态分布。但是如果采用这个模型，我们会发现模型的误差显然不服从正态分布。也就是说 这与模型假设相矛盾。这也是最重要的原因。
首先在搭建模型的时候，我们要进行 模型假设 。然后进行一系列严谨的数学计算，而数学计算是不会出错的。所以 模型假设 是唯一的软肋，一旦它出了问题，那么结果必定不会可靠。
1.2 从线性到非线性
对于一个客户来说，我们可观测到的是 客户买或者不买商品。但购物能给消费者带来两种相反的效应。这是我们不可观测的。
正效应：满足客户的需求 等。
负效应：花费金钱 等。
如果正效应大于负效应，则购买者会购买，否则就不会购买。
这里假设 正效应 和 负效应 是拥有服从正态分布的随机变量的线性回归模型。正效应和负效应存在一种竞争的关系，正效应和负效应的差大于 0 就说明要购买。反之，则不购买。而且二者的差依然服从正态分布。因此通过 两个线性回归模型 和 一个非线性变化 就巧妙的将不可观测到的和可观测到的联系在一起。这在学术上称之为窗口效应。
根据上面讨论的，我们进行如下建模。
Probit回归模型 可以完美解决二分类问题，但是它仍然有缺点。因为它采用的是标准正态分布，而它的概率是很难计算的，在数学上很难推导。所以，取巧的办法就是找到另外一个函数，它能够近似的去代替正态分布。在数学上，这个分布就叫做 逻辑分布 。它的概率密度函数如下
更重要的是它的累积分布函数就是大名鼎鼎的 Sigmoid 函数：
Sigmoid 函数与正态分布的累积分布函数对比图如下：
二者非常相像，我们就可以用 Sigmoid 函数这个比较简单的函数来代替复杂的正态分布函数进行计算。
所以，就可以得到 逻辑回归 公式。第二行的公式是将第一行的公式进行变换，我们能够看到 y = 1的概率除以 y = 0的概率再取对数，它得到的就是一个线性回归模型。所以，这个直观的得到了所谓的 逻辑回归模型 其实就是 线性模型加上了一层非线性变换。
1.3 逻辑回归的模型细节
在分类模型的理论讨论中，我们常常使用指示函数，其中 A 表示一个给定的集合
具体举一个例子，只有 y = 0 的时候，指示函数的值才为 1 ，其他全为 0 。
在机器学习领域，对于分类问题，常常用一个 n 维向量来表示数据的类别（也就是变量 y ），例子如下，当 y = 0 的时候，前者符合范围，后者不符合范围。所以为（1，0） 。
1.3.1 统计学角度：似然函数
逻辑回归的直接建模对象是 y = 1 的概率。也就是下面的式子：
结合变量的真实值，可以得到数据出现的概率。下面的式子很巧妙，可以把 y 的概率分布写成各个离散点概率分布的公式：
根据这个公式，就可以定义逻辑回归的似然函数，为了书写方便，首先定义 H(x)，其实就是 y = 1 的概率：
另外，yi 之间是相互独立的关系。因此，一系列 y 的联合分布概率也就等于每一点的概率相乘。那么套用第二个巧妙的式子，就可以得到下面的似然函数：
得到似然函数后，就可以根据最大似然估计法，得到参数模型的估计值：
唯一需要注意的是，和线性回归一样。采用自然对数的方法将乘法问题转换成了加法问题，以便于计算。
1.3.2 机器学习：损失函数
和线性回归一样，我们想定义模型在每一点的损失，然后定义出整个模型的损失函数，最后再根据最小损失函数的原则来得到模型参数的估计值。
具体来说，y 是随机变量，根据真实值，y 的概率分布如下，这是真实的概率分布：
对于逻辑回归模型，y 的概率分布如下，这是模型预测的概率分布：
同时有了真实概率分布和预测概率分布，就可以很容易定义模型在某一点的损失。两个概率分布的差距，就是模型的损失。在数学上，可以使用 交叉熵 来衡量两个概率分布之间的差距。
举个例子，对于两个概率分布 p 和 q 来说，它们的交叉熵可以定义为：
顺便一提，交叉熵的理论基础是 KL 散度。
有了理论基础，逻辑回归的损失函数 LL 定义如下，还是定义一个 H(x) 方便表示，它是 y = 1 的概率：
前面的一项是 y = 1 时，真实概率分布和预测概率分布的乘积。
后面的一项是 y = 0 时，真实概率分布和预测概率分布的乘积。
那么细心的你或许会注意到，我们采用最小损失的原则来得到模型参数的估计公式。和上面统计学使用最大似然估计法得到的公式是一样的。这说明，两种不同的角度，完全不同的方法，得到的结果是一样的。
又该掏出那张图了。总结一下。
1.3.3 最终预测结果
逻辑回归模型的直接结果是 y = 1 的概率。为了得到最终类别的预测，需要做进一步的转换。具体来讲：
1. 人为选择一个阈值 Alpha （二元分类问题 一般 Alpaha 都等于 0.5 ）
2. 当预测的 y = 1 的概率大于这个阈值时，最终的预测结果就等于 1 。否则为 0 。
数学公式如下：
2. 如何评估分类模型的效果
建模背景如下图：
2.1 查准率和查全率
为了方便理解，将数据进行可视化。1号区域加2号区域代表真实情况下，年收入大于5万的居民。2号区域加3号区域代表模型预测的年收入大于5万的居民。2区域代表模型和实际都大于5万的居民，也就是模型预测正确的部分。3区域代表模型预测错误的部分，也就是模型预测大于5万但真实值不到5万的部分。
查准率（precision）代表 模型预测年收入大于5万的居民中有多少真实值也大于5万（也就是预测正确占所有预测结果的百分比）。
希望预测结果 “精准”。
查全率（recall）代表 真实年收入大于5万的居民中有多少模型预测也大于5万（也就是预测正确占所有真实结果的百分比）。
希望预测结果 “完整”。
下面来看看在数学上查准率（precision）和查全率（recall）的严谨定义，首先引入混淆矩阵。
二者公式如下：
当然，从概率的角度来说，可以认为查准率（precision）和查全率（recall）是两个条件概率。
查准率（precision）表示模型预测等于 1 时，真实值等于 1 的条件概率。
查全率（recall）表示真实值等于 1 时，模型预测值等于 1 的条件概率。
2.2 综合指标 F-score
由于查准率与查全率往往存在 “此消彼长”的现象。也就是说一个增大，另一个减小。举个例子，模型的结果是由阈值来进行控制。如果我们降低阈值，那么就会出现提高查全率，降低查准率的结果：
换句话说，对于预测结果，单个指标的意义非常有限。
极端地，预测所有居民的年收入都大于5万，那么
1. 查全率达到100%。即所有正确情况全部预测出来。
2. 但预测结果没有意义，因为所有小于5万的情况也都预测为大于5万。
所以定义综合指标就尤为重要。数学上，定义 F1 score 来综合查准和查全两个指标：
但是在现实生活中，不同场景下，对查准查全的重视程度是不一样的。有时候更注重查准，有时候更注重查全。在数学上就定义了 Fbeta score 来满足这样的需求。
Beta 值是一个权值。如果它越接近于 0 ，那么就更接近于查准率（越看重查准率）。如果它越接近正无穷，那么就更接近于查全率（越看重查全率）。
Fbeta score 不仅仅是一个评估模型的指标，我们甚至可以用它来选择更好的模型。
比如说 针对逻辑回归模型，可以借助 F score 来确定阈值 Alpha 的值。具体来说，首先要确定最大化的 Fbeta score （注重查准还是查全），然后找到使得 Fbeta score 达到最大值的 Alpha 的取值。
2.3 ROC曲线与AUC指标
2.3.1 ROC曲线
首先回顾一下查准率和查全率，
对于查全率（Recall）的分母来说，不管采用什么模型，它的值都是确定的，因为真实值有多少是由数据确定的，而不是模型确定的。
但是对于查准率（Precision）来说，它的分母是和模型相关的，而不是数据确定的。
总体来说，混淆矩阵我们并没有用到 TN 这个框框，因此，我们希望定义新的指标覆盖所有格子。
首先，定义了 TPR ，TPR 叫做真阳性率，其实就是查全率（Recall）。它代表对于真实值为 1 的数据，我们预测正确的概率，我们希望它越大越好。
与之相对的是 FPR，叫做伪阳性率。它代表对于真实值为 0 的数据，我们错误地将其预测成正确的概率（预测错误的概率），我们希望它越小越好。
有了这两个指标，就可以定义所谓的 ROC 空间，它的横轴上是 FPR，纵轴是 TPR。
1. 对于（0，1）这个点，它被称为完美的预测结果，因为它的预测收益是 1 ，预测代价是 0 。
2. 左上方的点表示更好的预测结果，因为收益更多，代价更少。（点 A，B，C 证明了）
3. 对角线表示随机分类结果。（也就是瞎猜的结果）
比如，对于任何一点。60%的概率预测它等于 1 ，40%预测它等于 0 。（D点）
它的 FPR 和 TPR 都为0.6。所以所有不同概率乱猜就构成了这条对角线。
从模型的角度来讲，随机乱猜是最差的分类结果。所以对于所有落于随机线右下方的点（点F），我们可以仅仅认为它的预测结果颠倒了。我们只需要把点 F 预测为 1 的改为 0，0 的改为 1 。这样对调之后，就可以得到点 E 。所以，对于所有结果都不可能落到对角线的右下方。
要时刻记得，逻辑回归模型的直接预测结果是 y=1 的概率。为了得到最终的预测，还要做进一步的转换。即，人为选定阈值 Alpha。当预测的 y=1 的概率大于这个阈值，最终预测结果就等于 1 。
那么总结一下：
那么把阈值设定为 1 。这时候没有任何点被预测为 1 。所以它的 FPR 和 TPR 都为 0 。在图上就是在原点（0，0）。我们不断降低阈值，曲线会从（0，0）逐步往（1，1）走。当阈值为 0 时，在点（1，1）处。
同时，我们知道，点越靠近左上角，结果是越好的。所以，我们就定义了曲线下面积 AUC 。这个面积越大就说明整体更靠近左上，效果也就越好。
2.3.2 曲线下面积 AUC
根据上面要轮的结果，我们开始将 Alpha 值设置为 < 0.1 的时候，由于逻辑回归预测值全部大于等于 0.1 。根据下面的公式，模型当 Alpha < 0.1 的预测结果均为 1 。以此类推，我们得到各种 Alpha 的不同取值下模型的最终预测结果（也就是下面的蓝色区域）。
而根据 FPR 和 TPR 的定义。就可以得到最下面的表。对于 FPR 来说，它代表对于真实值为 0 的数据，我们预测错误的概率。对于 TPR 来说， 它代表对于真实值为 1 的数据，我们预测正确的概率。
将上面的 FPR 和 TPR 表格表示在 ROC 空间中。将这5个点连接起来，我们可以得到下面的图形。以及可以求出 曲线下面积AUC的面积，也就是灰色部分的面积。
在图中，我们可知这个图的 AUC 等于 0.75 。
下面对于 AUC 的概率进行解释。
这个 0.75 表示的是，如果我们随机选择两点。K 和 L ，其中 K 点真实值为 1，L 点真实值为 0 。 对于一个模型，我们希望 K 点的打分是大于 L 点的打分的，这里的打分指的是模型预测的 y = 1 的概率。
那么 K 点预测值等于 1 的概率大于 L 点预测值等于 1 的概率的概率恰好就是 AUC 的面积。
以这道题为例，当我们选择 K 点为 1 号数据点，不管我们怎么选择 L 这个点（L 可能为 3 或 4 号数据点），我们都可以得到 K 点的得分大于 L 点的得分。当我们选择 K 点为 2 号数据点，只有当 L 为 4 号数据点的时候，K 点得分才大于 L 点得分。（选择 3 号数据点时，0.5 > 0.4，所以 K 点得分小于 L 点得分）。所以在 4 种情况下，有三种情况 K 点大于 L 点。所以概率 为 3 / 4 = 0.75。这就是 AUC 的值。
3. 如何解决多元分类问题
3.1 多元逻辑回归模型
这里的多元逻辑回归和平常所说的逻辑回归有所区别。逻辑回归仅仅用于解决二元分类问题。
区别于二元分类问题，多元分类问题拥有更多的选项，并不仅仅是真假。比如说，周末选择去干什么？可以 吃饭，打游戏，逛街 等等。
解决多元分类问题，也可以借鉴二元分类问题的解决。
从隐含变量模型出发，推导出各个类别的概率（模型预测的概率）。首先定义 K 个隐含变量模型：
其中 i 指的是个体，比如说，我周末去干什么，那么 i 就指的是 “我”。
在逻辑回归中，只有前两项 Y。并且逻辑回归中，随机扰动项 ε 服从逻辑分布，也就是近似正态分布，用来代替正态分布并且好计算的那个分布。
在多元逻辑回归中，随机扰动项 ε 服从标准类型1的极端值分布，这个分布和正态分布的形状几乎是一样的，只是 “尾巴” 会比正态分布稍微厚一点点。做这个假设的目的还是在于方便数学上的计算。
接下来就可以定义第 i 个个体属于某个类别的判断逻辑。个体属于某个类别，当且仅当这个类别对它的效用最大。也就是说，举个例子，上面的 Yi,0* 是所有的 Y 最大值时，我们就认为 i 这个个体属于 0 这个类别。
由此经过数学推导，就可以得到各个类别的概率分布。这个公式与逻辑回归得到的公式特别像。如果假设 K = 2，那么就回到了逻辑回归的场景，这里的公式和正常逻辑回归得到的公式是一样的。
有了各个类别的概率分布，就可以推导出模型参数的估计公式。也就是模型的似然函数。真实值的一个分布概率值。和逻辑回归与线性回归一样，这个概率值是一个乘积的关系。为了方便运算，要用自然对数将其转换成一个加法的形式。
最后，利用最大似然估计法来估计模型参数。也就是说模型参数的估计值就是使 似然函数 L 达到最大值时的参数取值。
3.2 降维到二元分类问题
将多元分类问题分解为多个二元分类问题来解决。解决的方法主要有两种。
1. OvR（OvA）：One-vs.-rest
2. OvO：One-vs.-one
3.2.1 OvR（OvA）：One-vs.-rest
假设我们面对一个三元分类问题。有 0，1，2 三个选项。
我们将其分解成小的二元分类问题。从中分别得到 Y = 0，1，2 的概率。
但是需要注意的是，这里的概率不是真实的，只是虚假的。只是对于一种可能来说成真的概率。所以这里的三个 P(Y=0)，P(Y=1)，P(Y=2)，的和不一定等于 1。对于这种概率，我们只选择概率值最大的，作为最终的预测结果。
3.2.2 OvO：One-vs.-one
依然假设，我们面对一个三元分类问题。
我们将其两两拿出来，让它们互相 PK 。分别用逻辑回归来解决 3 个子问题。
对于每一个子问题都有一个优胜者。最后 “获胜”次数最多的，作为最终预测结果。
3.3 多元分类问题总结
我们可以直接使用多元逻辑回归模型，也可以降维分解成一个个二元分类问题，用逻辑回归分别解决。
4. 非均衡分类问题
4.1 非均衡数据集
在面对分类问题时，各类别占比差距很大的数据集就是非均衡数据集。举个例子：
在实际的应用中，会经常遇到非均衡数据集，比如信贷，反欺诈，广告预测等。信贷违约的人一定是比不违约的人少得多的。违约的人占比很小。
同样的，对于多元分类问题，如果使用 OvR 策略，也容易引发 “潜在的” 非均衡数据集。
非均衡数据集会给模型搭建带来极大的困难。
4.2 准确度悖论
这个看似很直观的评估指标在面对非均衡分类问题会严重失真。
下面引入混淆矩阵：
我们很容易的得到 准确度 这个指标的数学公式。
假设一个非均衡分类问题：
并且假设一个模型 A ，其实它并没有预测功能，因为它对所有预测结果都是 0 。所以它预测准确的是 990 个，预测错误的是 10个。对于一个这样模型，它的准确度为 99% 。这是一个相当高的数字。
对于另外一个模型 B，它有一定的辨识度，并不是所有点都预测为 0 。
从准确度上来看，模型 B 并没有模型 A 更高。但是实际上模型 A 并没有辨识度，所有类型都预测成 0 。模型 A 并没有任何作用。这就是所谓的准确度悖论。
4.3 非均衡数据集与准确度悖论对建模的影响
首先假设一个式子
如果使用逻辑回归模型对数据进行建模，会得到非常好的结果，因为变量都完美服从逻辑分布假设。
但是，如果面对了一个非均衡数据集，结果就不一样了。
对于第一幅图，虽然原始数据类别1 的个数始终是 1000 。但是类别1 所占的比例是急剧减小的（单纯增大类别0 的个数）。如果用逻辑回归直接进行建模，就可以看到随着类别1 占比的减小，预测结果里面，类别1 的概率也是急剧减小的。到了末端，这个模型基本没有了预测效果。因为它把所有的数据点都预测为了类别0 。这也就是上面讨论的准确度悖论中的情况。
对于第二幅图，从评估指标的方面来看。虽然我们知道随着类别1 的占比减小，模型并没有预测效果。但是准确度却是不断上升的。这就是刚才讨论的准确度悖论。但是曲线下面积AUC 却是正常的表现了这个模型预测效果的逐渐下降。
总结一下：
1. 虽然 y，x1，x2 之间完美服从逻辑回归模型的假设，但数据越不均衡，模型效果越差。
2. 当面对费均衡数据集时，准确度这个评估指标会严重失真。
4.4 非均衡分类问题的解决办法
假设非均衡数据集，类别1 少，类别0 多。对于逻辑回归的参数估计公式
h(xi) 靠近 1 ，预测结果为类别1 ，反之预测结果为 0 。
对于非均衡数据集，对于类别1 ，它的损失是 -ln h(x)，它想使 h(x) 靠近1 。
对于类别0 ，它的损失是 -ln[1 - h(x)] ，它想使 h(x) 靠近0 。
需要注意的是，每个点的权重都等于1 。由于类别1 附近有很多类别0 ，所以一般的选择就是
“牺牲” 类别1，“迁就” 类别0；所以模型的预测结果几乎都为类别0 。
这就导致 h(x) 约等于 0 。
这就是非均衡数据集给建模带来困难的原因。
那么如何解决这个问题呢？我们可以从每个点的权重都等于1 下手。因为权重相同，所以损失函数会牺牲类别1 来满足类别0 的利益。
我们可以调整不同类别的权重。
对于类别0，它的权重变为 -w0 ln[1-h(x)]；对于类别1，它的权重变为 -w1 lnh(x) 。这里使 w1 > w0 ，因为我们知道类别1 的个数比较少，所以要调高它的权重。这样调整之后，模型就不会过分满足类别0 的要求。
最后修正逻辑回归的损失函数：
修正过后，模型的效果明显提升。