这个学期一直上网课，全都是看视频，所以没看过书。对于一些知识点只是看PPT理解，所以有很多知识点不知其所以然，最近复习开始看书才发现其中的奥妙，简直是妙不可言。
以下内容来自《计算机组成原理》唐朔飞的教材。
手算乘法对于接受过义务教育的我们应该不是问题，那么我就直接上手算二进制乘法的改进版。
手算二进制的改进
设(A=0.1101)，(B=0.1011)，求(A×B)。
[egin{aligned}A cdot B &=A cdot 0.1011 \&=0.1 A+0.00 A+0.001 A+0.0001 A \&=0.1 A+0.00 A+0.001(A+0.1 A) \&=0.1 A+0.01[0 A+0.1(A+0.1 A)] \&=0.1{A+0.1[0 A+0.1(A+0.1 A)]} \&=2^{-1}left{A+2^{-1}left[0 A+2^{-1}left(A+2^{-1} A
ight)
ight]
ight} \&=2^{-1}left{A+2^{-1}left[0 A+2^{-1}left(A+2^{-1}(A+0)
ight)
ight]
ight}end{aligned}
]
通过上式可见，两数相乘的过程，可以视为加法和位移两种运算，这对计算机来说是非常容易实现的。
下图是具体实现的计算步骤：
实现上述步骤需要用一个寄存器存放被乘数，一个寄存器存放乘积的高位，另一个寄存器存放乘数和乘积的低位。
原码一位乘法
由于原码与真值之间只相差一个符号，而乘积的符号又可通过两数符号的逻辑异或求得，所以上述运算可直接用于原码一位乘，只需要对符号位进行处理就行了。
原码一位乘运算规则：
[[x]_原 = x_{0}.x_{1} x_{2} cdots x_{n}
]
[[y]_原 = y_{0}.y_{1} y_{2} cdots y_{n}
]
[[x]_原·[y]_原=x_0oplus y_0(0.x_1x_2cdots x_n)(0.y_{0}.y_{1} y_{2} cdots y_{n})
]
式中(0 . x_{1} x_{2} cdots x_{n})和(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n})是x和y的绝对值，记作(x^*)和(y^*)。
补码一位乘法
被乘数([x]_补 = x_{0}.x_{1} x_{2} cdots x_{n})，乘数([y]_补 = y_{0}.y_{1} y_{2} cdots y_{n})。
- 被乘数x符号任意，乘数y符号为正
[egin{equation}egin{array}{l}{[x]_{ ext {补 }}=x_{0} cdot x_{1} x_{2} cdots x_{n}=2+x=2^{n+1}+x (mod 2 )} \{[y]_{ ext {补 }}=0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}=y} \{[x]_{ ext {补 }} cdot[y]_{ ext {补 }}=[x]_{ ext {补 }} cdot y=left(2^{n+1}+x
ight) cdot y=2^{n+1} cdot y+x y}end{array}end{equation}
]
下面这一串等式很重要，一定要看懂：
[egin{equation}y=0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}=sum_{i=1}^{n} y_{i} 2^{-i}, ext { 则 } 2^{n+1} cdot y=2 sum_{i=1}^{n} y_{i} 2^{n-i}end{equation}
]
按照我的理解：(y_i)中至少有一个为1，否则(y=0)，而且(n≥i)，所以(2^{n-i}≥1)，可得到(sum_{i=1}^{n}y_i2^{n-i}≥1)，进而(2 sum_{i=1}^{n} y_{i} 2^{n-i})的结果是2的整数倍，所以有 (2^{n+1}·y=2(mod2))。
则：
[[x]_{ ext {补 }} cdot[y]_{ ext {补 }}=2^{n+1} cdot y+x y=2+x y=[x cdot y]_{ ext {补 }} quad(mod 2)
]
即：
[[x cdot y]_{ ext {补 }}=[x]_{ ext {补 }} cdot[y]_{补}=[x]_{ ext {补 }} cdot y
]
- 被乘数x任意符号，乘数y符号为负
[egin{equation}egin{array}{l}{[x]_{ ext {补 }}=x_{0} cdot x_{1} x_{2} cdots x_{n}} \{[y]_{ ext {补 }}=1 cdot y_{1} y_{2} cdots y_{n}=2+y(mod 2)}end{array}end{equation}
]
则：
[egin{equation}egin{aligned}y &=[y]_{ ext {补 }}-2=1 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}-2=0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}-1 \x cdot y &=xleft(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}-1
ight) \&=xleft(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}
ight)-xend{aligned}end{equation}
]
故：
[egin{equation}[x cdot y]_{ ext {补 }}=left[xleft(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}
ight)
ight]_{ ext {补 }}+[-x]_{ ext {补 }}end{equation}
]
将(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n})视为一个正数，正好与上述情况相同。所以：
[egin{equation}[x cdot y]_{ ext {补 }}=[x]_{ ext {补 }}left(0 . y_{1} y_{2} cdots y_{n}
ight)+[-x]_{ ext {补 }}end{equation}
]
乘数为负的补码乘法与乘数为正的乘法类似，只需最后加上一项校正项(-[x]_补)即可。
需要注意的是：在相加和移位时要按照补码规则进行。