一、(15分)设$displaystyle x_{1}>0,x_{n+1}=frac{3(1+x_{n})}{3+x_{n}}(n=1,2,cdot cdot cdot)$,证明:$x_{n}$有极限,并求出极限值.
二、(15分) 设$y=f(x)$在$displaystyle [0,+infty)$一致连续,对任意$displaystyle xin[0,1],limlimits_{n o infty }(x+n)=0$,($n$为正整数),
证明:$displaystyle limlimits_{n o infty}f(x)=0$.
三、(每小题10分,共20分) 设在$[a,b]$上,有$f''(x)>0$,证明:
1.对任何$x_{0},xin[a,b]$,有$displaystyle displaystyle f(x)ge f(x_{0})+f'(x-{0})(x-x_{0})$
2.对任何$x_{1},x_{2},cdot cdotcdot,x_{n}in[a,b]$,有$displaystyle fleft(frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}x_{i} ight)lefrac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}f(x_{i})$
四、(15分) 设$y=f(x)$在$[a,b]$有连续导数且$f(a)=0$,证明:$$ M^{2}le (b-a)int_{a}^{b}[f'(x)]^{2}dx$$
其中$displaystyle M=suplimits_{ale xle b}left| f(x) ight|$.
五、(10分) 设$f(x,y)$为$n$次齐次函数,即满足:对任意$displaystyle t>0,f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$,且$f$可微,证明在$(x,y) ot =(0,0)$处有
$$ xfrac{partial f}{partial x}+yfrac{partial f}{partial y}=nf$$
六、设$g(x)$在$[0,1]$上连续.作$displaystyle f_{n}(x)=g(x)x^{n}$,证明:$displaystyle { f_{n}(x) }$在$[0,1]$上一致收敛.
七、计算积分 $displaystyle int_{AmB}(x^{2}-yz)dx+(y^{2}-xz)dy+(z^{2}-xy)dz$此积分是从点$A(a,0,0)$至点$B(a,0,h)$沿螺线$displaystyle x=acos heta $、
$displaystyle y=asin heta $、$displaystyle z=afrac{h}{2pi} heta $上所取的.