题160903设$alpha ,eta $均为锐角,满足
${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$,
求$alpha +eta $的值.
试题来源:2016年北大全国优秀中学生暑期学堂
参考答案:$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$
解:显然当$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$时,等式成立;
由已知条件知${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $,
整理得$sin alpha (sin alpha -cos eta )=sin eta (cos alpha -sin eta )$.
若$alpha +eta e dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$,则有$sin alpha -cos eta $与$cos alpha -sin eta $同号.
若它们同为正,则有$sin alpha >cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta ight)$,$cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ight)>sin eta $,
从而有$alpha >dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $,$dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha >eta $,无解;
若它们同为负,用类似的方式也可以推导出矛盾.
综上,$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$.
法2:由${{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta =sin (alpha +eta )$,$sin left( alpha +eta ight)le 1$,得${{sin }^{2}}alpha le 1-{{sin }^{2}}eta ={{cos }^{2}}eta $,
因为$alpha ,eta $均为锐角,所以$sin alpha le cos eta $,同理$sin eta le cos alpha $,
故$sin left( alpha +eta ight)=sin alpha cos eta +cos alpha sin eta $$ge {{sin }^{2}}alpha +{{sin }^{2}}eta $,
当且仅当$sin alpha =cos eta =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta ight)$,$sin eta =cos alpha =sin left( dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ight)$时取等,
因为$alpha ,eta ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-alpha ,dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}-eta $均为锐角,所以$alpha +eta =dfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}$.
学生解答
BAM提供:正确
LST提供:正确
WQY提供:正确
FXY提供:正确
MJX提供:正确,解法巧妙
LZX提供:倒数2,3行有误