如何在半径为1的圆中随机选取一个点

拿到这个题目大部分人的第一个思路是

　　在x轴[-1,1]，y轴[-1,1]的正方形内随机选取一点。然后判断此点是否在圆内（通过计算此点到圆心的距离）。如果在圆内，则此点即为所求；如果不在，则重新选取直到找到为止。正方形的面积为4，圆的面积为pi，所以正方形内的随机点在圆内的概率是pi/4。

　　如果对机器学习的算法熟悉的话，这种方法叫做拒绝性采样。就是用一种容易生成的概率分布（本题是正方形的均匀分布），去模拟不容易生成的概率。

$forall x in R^2, f(x) leq a cdot g(x)$

在单位圆上模拟均匀分布，要模拟满足概率分布 f 的随机变量，其中 f 满足 $forall (x,y) in R^2, f(x,y) = frac{1}{pi} cdot 1_{Disque}(x,y)$ . $a = frac{4}{pi}$

我们把 g 选择为均匀分布在一个中心在原点，边长为 2 的正方形上。

　　注意落在圆内的概率是pi/4，（圆的面积是pi，正方形的面积是4），不落在圆的概率是1-pi/4，对于k次试验不落在圆内的概率是(1-pi/4)^k，当k=20时，结果近似于.00000000000004，当k=50时近似10^{-34}，这个要花一定的时间。

另一种方法是

　　从[0,2*pi)中随机选一个角度，对应于圆中的一条半径，然后在此半径上选一个点。但半径上的点不能均匀选取，选取的概率应该和距圆心的长度成正比，这样才能保证随机点在圆内是均匀分布的。