因子和:
6的因子是1,2,3,6; 6的因子和是 s(6)=1+2+3+6=12;
20的因子是1,2,4,5,10,20; 20的因子和是 s(20)=1+2+4+5+10+20=42;
2的因子是1,2; 2的因子和是 s(2)=1+2=3;
3的因子是1,3; 3的因子和是 s(3)=1+3=4;
4的因子和是 s(4)=1+2+4=7;
5的因子和是 s(5)=1+5=6;
s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;
s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;
这是巧合吗？
再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.
这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);
如果p是素数
s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)
例 hdu1452 Happy 2004
计算 因子和 s(2004^X) mod 29 ,
2004=2^2 *3 *167
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))
167)=22;
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))
a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据 （1）
b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据 （1）
c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据 （1）
%运算法则 1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p)
%运算法则 2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p)
b^(-1)是 b的逆元素 （%p）
2的逆元素是15 （)） ，因为2*15=30 % 29=1 % 29
21的逆元素是18 （)） ，因为21*18=378% 29 =1 % 29
因此
a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;
b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;
c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;
ans=（a*b）% 29*c % 29;
1 /************************************************************************* 2 > File Name: xh.cpp 3 > Author: XINHUA 4 > Mail: 525799145@qq.com 5 > Created Time: 2013/7/22 星期一 19:54:04 新华 6 ************************************************************************/ 7 8 #include<iostream> 9 #include<stdio.h> 10 #include<algorithm> 11 #include<iomanip> 12 #include<cmath> 13 #include<string> 14 #include<vector> 15 #define ll __int64 16 using namespace std; 17 int pows(int a,int b) 18 { 19 int ans=1; 20 while(b) 21 { 22 if(b&1) ans=ans*a%29; 23 b>>=1; 24 a=a*a%29; 25 } 26 return ans%29; 27 } 28 int main() 29 { 30 int n; 31 while(cin>>n&&n) 32 { 33 int a=(pows(2,2*n+1)-1)%29; 34 int b=(pows(3,n+1)-1)*15%29; 35 int c=(pows(22,n+1)-1)*18%29; 36 printf("%d ",(((a*b)%29)*c)%29); 37 } 38 return 0; 39 }