xdoj-1057(Lucas定理的证明及其模板）

Lucas定理的证明：转自百度百科（感觉写的还不错）

首先你需要这个算式:

,其中f > 0&& f < p，然后

(1 + x) ⁿΞ(1 + x)^sp+q Ξ( (1 + x)^p)^s· (1 + x) ^q Ξ(1 + x^p) ^s· (1 + x) ^q(mod p)

（modp)

所以得(1 + x)^sp+q

(mod p)
　　

我们求右边的

的系数为：

求左边的

为：

通过观察你会发现当且仅当i = t , j = r ,能够得到

的系数，即
　　

所以

得证。

Lucas定理模板

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <cstdio>
 4 typedef long long LL;
 5 const LL mod = 10007;
 6 LL fac[mod+10];
 7 LL n,m;
 8 LL q_pow (LL x,LL k) {
 9     LL ans=1;
10     while (k) {
11         if (k&1) ans=ans*x%mod;
12         k=k>>1;
13         x=x*x%mod;
14     }
15     return ans;
16 }
17 LL C (LL x,LL y) {
18     if (y>x)  return 0;// 重要
19     LL t1=fac[x];
20     LL t2=fac[x-y]*fac[y]%mod;
21     return t1*q_pow(t2,mod-2)%mod;
22 }
23 LL Lucas (LL x,LL y) {
24     if (y==0) return 1;//递归出口
25     return C (x%mod,y%mod)*Lucas (x/mod,y/mod)%mod;
26 }
27 int main ()
28 {
29     fac[0]=1;//一定不要忘了0
30     for (int i=1;i<=mod;i++)
31         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
32     while (~scanf ("%lld %lld",&n,&m)) 
33         printf ("%lld
",Lucas(m+n-1,n-1));// （多重集合取组合数）
34     return 0;
35 }

抓住青春的尾巴。。。