3.1概述
3.1.1线性
如果L是加性的且是单一性的（即满足叠加原理），则称该映射是线性的。等价的，对于任意的矢量x,y和标量a,b，线性映射满足L（ax+by）=aLx+bLy,即它保持线性组合。
3.1.2狄拉克分布和卷积
理想的冲击是一个重要的输入信号，图像平面上的理想冲击使用狄拉克分布定义的，δ(x,y)
且对于所有的x,y≠0，有δ(x,y)=0.
狄拉克分布的“筛特性”：
它提供了函数f(x,y)在点λ，μ的值：
卷积是一个积分，反映一个函数f(t)在另一个函数上h(t)移动时所叠加的量。函数f和h的在有限域[0,t]上的1D卷积f*h由下式给出：
卷积具有如下性质：
f*h=h*f
f*(g*h)=(f*g)*h
f*(g+h)=(f*g)+(f*h)
a(f*g)=(af)*g=f*(ag)
对卷积做微分：
离散卷积用求和来表达：
，称h 为卷积掩膜，一般使用奇数的行和列的矩形邻域O，这样能够确定邻域的中心。
3.2积分线性变换
在图像分析中最常用的积分线性变换是傅里叶变换、余弦变换和小波变换。在图像处理中积分线性变换通常的应用是图像滤波，滤波既可在空域也可在频域进行。在频域，滤波可看作增强或减弱特定频率。
3.2.1作为线性系统的图像
由图像及其处理可以建模为由狄拉克冲击δ表达一个的点展开函数的叠加。算子是从一个矢量空间到另一个矢量空间的映射。一个线性算子L（也称作线性系统）具有如下性质：L{af1+bf2}=aL{f1}+bL{f2}
一幅图像f可以表示成由狄拉克冲击δ表达的点展开函数的线性组合。线性系统L对输入图像f的响应g由下式给出：
其中h是线性系统L的冲击响应。即线性系统L的输出可以表示为输入图像f与该线性系统的冲击响应h的卷积。对其两边作傅里叶变换，则G(x,y)=F(u,v)*H(u,v)
该式常用于图像预处理中表示平滑和锐化的处理。在实际中，很多情况下图像可以用线性系统来近似。
3.2.2 1D傅里叶变换
1D傅里叶变换F将一个函数f(t)变换到频域表达F{f(t)}=F(ξ),其中ξ[Hz=s-1]是频率而2πξ[s-1]是角频率。复函数F称作（复）频谱。
设i是通常的虚数单位。连续傅里叶变换F由下式给出：
傅里叶逆变换F-1为
函数f(t)的傅里叶谱存在的条件是：
（1）
，即f必须比指数函数衰减更快。
（2）f在任有限何有限的区间内只能有有限个不连续点。
注：任何1D函数f(t)的形状都可以分解为它的偶对称fe(t)和奇对称fo(t)部分。fe(t)=（f(t)+f(-t)）/2,fo(t)=（f(t)-f(-t)）/2
帕斯维尔定理：
测不准原理指出：不可能存在时域和频域都可以任意窄的信号。
离散傅里叶变换定义为：
其逆变换定义为：
谱F(k)是周期性的，周期是N。
3.2.4 2D傅里叶变换
连续图像函数f的2D傅里叶变换定义为如下的积分：
其傅里叶逆变换为：
参数（x,y）表示图像坐标，（u,v）称为空间频率。
2D傅里叶变换的结果是一个复值的2D谱。
3.2.4 采样与香农约束
一个连续的图像函数f(x,y)可以用平面上离散的栅格点来采样。
香农采样定理：
，在图像分析中该定理的一个简单的物理解释是：设已知图像中感兴趣的最小细节的尺寸，采样间隔应该比它的一半要小。
3.2.5离散余弦变换（DCT）
DCT作用域有限长度的函数样本上，对于有限长度的离散序列有两个选项与边界条件有关。其一是函数是否在定义域左端和右端都是偶或奇的，其二是相对于哪点函数是偶或奇的。
3.2.6小波变换
定位信号（图像）中的变化的一种解决办法是使用短时傅里叶变换，其中信号被分解为小窗口并将其看作周期函数作局部处理。
小波变换比短时傅里叶变换更进一步。它分析信号（图像）也是通过乘以窗函数并作正交展开来进行，与其他积分线性变换类似。小波分析在两个方向上做了扩展。在第一个方向上，基函数（称作小波（wavelet）意指很小的波，或母小波）比正弦和余弦要复杂。5种常用的母小波的形状为：
在第二个方向上，小波分析是在多个尺度上进行的。