在看牛客网给的题解的参考资料的时候看到了生成函数
不太懂就去查了一下
感觉真的太奇妙了 拍案叫绝
今天数学教我做人
参考：http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/05/122290.html
生成函数（母函数）的定义是
有一个数列{an} = {a0, a1, a2, a3, ......, an}
他的生成函数就是f(n) = a0 + a1*x + a2 * x^2 + ... + an * x ^ n
也就是说 这个函数的x的i次幂项的系数对应这个数列的第i项ai
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
也就是说 可以用生成函数来求组合数了！
举个栗子：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
解题过程
解题时，首先要写出表达式，通常是多项的乘积，每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表达式为
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K对应具体问题中物品的种类数。
v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重，对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。
n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数，对应于具体问题中的每个物品的最少个数，即最少要取多少个。
n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数，对应于具体问题中的每个物品的最多个数，即最多要取多少个。
对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。
解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。
通常n1都为0，但有时候不是这样。
n2有时候是无限大。
模板：
#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存每一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j]; //我觉得这里因为原来的系数都是1所以单传的相加即可，但是如果原来括号里的系数不是1 还应该乘相应的系数
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面几个表达式累乘的表达式)里第j个变量，如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。
④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。