careercup-递归和动态规划 9.1

9.1 有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一个方法，计算小孩有多少种上楼梯的方法。

解法：

我们可以采用自上而下的方式来解决这个问题。小孩上楼梯的最后一步，也就是抵达第n阶的那一步，可能走1阶、2阶或3阶。也就是说，最后一步可能是从第n-1阶往上走1阶、从n-2阶往上走2阶，或从第n-3阶往上走3阶。因此，抵达最后一阶的走法，其实就是抵达这最后三阶的方式的总和。

递归的方法实现：

int countWaysD(int n)
{
    if(n<0)
        return 0;
    else if(n==0)
        return 1;
    else
    {
        return countWaysD(n-1)+countWaysD(n-2)+countWaysD(n-3);
    }
}

使用3个临时变量的方法：

int countWays(int n)
{
    if(n<0)
        return 0;
    if(n==0)
        return 1;
    int first=0,second=0,third=1;
    int i=1;
    int ret;
    while(i<=n)
    {
        ret=first+second+third;
        first=second;
        second=third;
        third=ret;
        i++;
    }
    return ret;
}

使用dp的方法，需要一个数组来记录前面已经求出的值。

int countWaysDP(int n,int dp[])
{
    if(n<0)
        return 0;
    if(n==0)
        return 1;
    if(dp[n]>0)
        return dp[n];
    else
        dp[n]=countWaysDP(n-1,dp)+countWaysDP(n-2,dp)+countWaysDP(n-3,dp);
    return dp[n];
}

C++实现代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<climits>
using namespace std;

const int MAX=1000;

int countWaysD(int n)
{
    if(n<0)
        return 0;
    else if(n==0)
        return 1;
    else
    {
        return countWaysD(n-1)+countWaysD(n-2)+countWaysD(n-3);
    }
}
int countWays(int n)
{
    if(n<0)
        return 0;
    if(n==0)
        return 1;
    int first=0,second=0,third=1;
    int i=1;
    int ret;
    while(i<=n)
    {
        ret=first+second+third;
        first=second;
        second=third;
        third=ret;
        i++;
    }
    return ret;
}


int countWaysDP(int n,int dp[])
{
    if(n<0)
        return 0;
    if(n==0)
        return 1;
    if(dp[n]>0)
        return dp[n];
    else
        dp[n]=countWaysDP(n-1,dp)+countWaysDP(n-2,dp)+countWaysDP(n-3,dp);
    return dp[n];
}

int main()
{
    int dp[MAX]={0};
    for(int i=1; i<10; i++)
        cout<<countWays(i)<<endl;
}