[HNOI2012][BZOJ2734] 集合选数|状态压缩动态规划|思路题

2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件的子集。

Sample Input

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

Source

day2

我们可以构造形如以下的一个矩阵

x 3x 9x 27x...

2x 6x 18x 54x

4x 12x 36x 108x

8x 24x 72x 216x

就是这种形式

那我们先令x=1吧，构造之：

1 3 9 27...

2 6 18 54...

4 12 36 108...

8 24 72 216...

....................

我们可以观察到，每个数和他相邻的数都不可同时取，可以计算出本矩阵中取数的方案数。

但是好像又漏了一些，比如在构造的第一个矩阵中，5和2*5,3*5都没有计算到。

这时我们又要构造如下一个矩阵

5 15 45 135...

10 30 90 270...

20 60 180 540...

........................

我们又可以计算出本矩阵中取数的方案数。

再回头看第一个矩阵，7好像也没有取到。

我们就再构造一个矩阵

7 21 63 189...

14 42 126 378...

28 84 252 756...

.......................

以此类推。

计算出所有矩阵的结果，因为不同矩阵间的数是一定可以共同存在的，此时乘法原理，将各矩阵求得的方案数相乘取模即为答案。

好像忽略了一个问题：怎么统计方案数？

状压dp。

f[i][j]表示当前处理到第i行，本行的状态为j。那么看一下j&(j>>1),j&k(k为上一行的某状态)是否都为0，如果是那么就从f[i-1][k]转移而来。

f[i][j]=sigma(f[i-1][k]|k is ok)。

至此，本题结束。

#include<bits/stdc++.h>
#define M 1000000001
#define ll long long
using namespace std;
ll ans=1;
int n;
int a[20][20],b[20],f[20][2049];
bool mark[100005];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline int calc(int x)
{
    memset(b,0,sizeof(b));
    a[1][1]=x;
    for (int i=2;i<=18;i++)
        if (a[i-1][1]*2<=n) a[i][1]=a[i-1][1]*2; else a[i][1]=n+1;
    for (int i=1;i<=18;i++)
        for (int j=2;j<=11;j++)
            if (a[i][j-1]*3<=n) a[i][j]=a[i][j-1]*3; else a[i][j]=n+1;
    for (int i=1;i<=18;i++)
        for (int j=1;j<=11;j++)
            if (a[i][j]<=n)
            {
                b[i]+=(1<<(j-1));
                mark[a[i][j]]=1;
            }
    for (int i=0;i<=18;i++)    
        for (int j=0;j<=b[i];j++)
            f[i][j]=0;
    f[0][0]=1;
    for (int i=0;i<18;i++)    
        for (int j=0;j<=b[i];j++)
            if (f[i][j])
                for (int k=0;k<=b[i+1];k++)
                    if (((j&k)==0)&&((k&(k>>1))==0))
                        f[i+1][k]=(f[i][j]+f[i+1][k])%M;
    return f[18][0];
}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (!mark[i]) ans=(ans*calc(i))%M;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}