关于KMP的一点思考

KMP的(next)数组的性质很精妙，有必要开一个坑学习一下

Part 1 啥是next

(next[i])表示对于(pre_i)这个字符串，这个抠出来的字符串本身后缀和前缀相等的最长长度。是一个自变量只和这个子串有关的函数。这点很重要

由于保证了是最长长度，这个数有一些优良的性质，常常在关于一个串的循环表示或者周期表示中发挥作用。

注意到这个(next[i])虽然代表是这个最长长度，但是值得注意的是，由于字符串从1开始编号，所以这个值也是那个前缀的下标。

Part2 如何求next

边界条件是，(nx[1]=0)。考虑我们若已经求得前面(i-1)的位置的(nx)值，现在如何求(nx[i])。

把(S[1dots i-1])看做一个整体，现在我们在后面加入了一个字符(S[i]=c)。

我们现在就是要在(pre_{nx[i-1]})中截一个最大的位置(p)，使得(S[p+1]=c)，而(p)虽然是下标，但是由于从(1)开始编号那么就同时就是这个串的长度，所以(nx[i]=p+1)。为什么是在(pre_{nx[i-1]})中找呢？因为我们要保证(S[i-p+1...i]=S[1,p])。

所以如何找(p)呢？由于我们要保证刚刚写的这个等式，可以发现(p)一定是在(G=(V,E),E=(x,nx[x]))这样的图中和(nx[i-1])联通的到祖先的链上，所以我们一直暴力跳(nx[])也就是遍历这条链，直到第一次找到一个位置(p)使得(S[nx[p]+1]=S[i])。

但是你可能觉得这样的复杂度是假的，下面我将证(复)明(读)暴力跳(nx[])遍历的复杂度不超过(O(n))

可以发现(nx[i]le nx[i-1]+1)，得证。

哈哈哈哈

其实就是，(nx[i])的总增长是(O(n))的，而且一次最多增长(1)，所以在其间不断跳的复杂度不超过(O(n))。(总共只有这么多(nx)给你跳啊！)

代码：

	for(int t=2;t<=s2;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];
	}

Part 3 一些性质

由于我马上就要咕咕咕所以

P3435 [POI2006]OKR-Periods of Words

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define getchar() (__c==__ed?(__ed=__buf+fread(__c=__buf,1,1<<18,stdin),*__c++):*__c++)

using namespace std;  typedef long long ll;   char __buf[1<<18],*__c=__buf,*__ed=__buf;
inline int qr(){
	register int ret=0,f=0;
	register char c=getchar();
	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
	return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1e6+5;
char c[maxn];
int n,nx[maxn],cut[maxn];

inline void kmp(){
	for(int t=2;t<=n;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&c[nx[t]+1]!=c[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(c[nx[t]+1]==c[t]) ++nx[t];
	}
}

int Find(const int&p){
	if(!nx[p]) return p;
	if(cut[p]) return cut[p];
	return cut[p]=Find(nx[p]);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in","r",stdin);
	//freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%d%s",&n,c+1);
	kmp();
	ll ans=0;
	for(int t=1;t<=n;++t)
		ans=(ans+t-Find(t));	
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

[P4824 USACO15FEB]Censoring (Silver) 审查(银)

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;  typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;
char S[maxn],T[maxn];
pair<int,int> stk[maxn];
int s1,s2,top,nx[maxn];

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%s%s",S+1,T+1);
	s1=strlen(S+1);
	s2=strlen(T+1);
	for(int t=2;t<=s2;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];
	}
	int p=0;
	for(int t=1;t<=s1;++t){
		while(p&&T[p+1]!=S[t]) p=nx[p];
		if(T[p+1]==S[t]) ++p;
		stk[++top]=(pair<int,int>){t,p};
		if(p==s2) top-=s2,p=stk[top].second;
	}
	for(int t=1;t<=top;++t) printf("%c",S[stk[t].first]);
	putchar('
');
	return 0;
}