线性时间筛素数

这两天看到了线性时间筛选素数，觉得它的扩展很神奇= =

先来基本的

#define N 10000000

int prime[N],p;
bool iscomp[N+1];

void primetable()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(iscomp[i]==false) prime[p++]=i;
        for(int j=0;j<p&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            iscomp[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

我们知道合数可以由一个质数数与另一个数相乘得到
而同时假设合数a=质数b×质数c×一个数d
令e=c × d,假设b ≥ e,e为合数,令f=d × b
a=f × c ,其中c
即比一个合数数大的质数和该合数的乘积可用一个更大的合数和比其小的质数相乘得到
这也是if(!( i % prime[j]))break;的含义,这也是线性筛法算质数表的关键所在

利用了每个合数必有一个最小素因子。

每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。

稍加改进，它就可以计算出1～N中每个数的素因子个数:

#define N 10000000

int prime[N],p;
int cnt[N+1];
bool iscomp[N+1];

void primetable2()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(iscomp[i]==false)
        {
            prime[p++]=i;
            cnt[i]=1;
        }
        for(int j=0;j<p&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            prime[i*prime[j]]=true;
            cnt[i*prime[j]]=cnt[i]+1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

cnt[i]的值即为 i 的素因子个数.

求因子的个数：

#include<iostream>
#define N 1000010
using namespace std;

int prime[N],p;
int cnt[N];
int div[N];
bool iscomp[N];

void primetable4()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(iscomp[i]==false)
        {
            prime[p++]=i;
            cnt[i]=1;
            div[i]=2;
        }
        for(int j=0;j<p&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            iscomp[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                div[i*prime[j]]=div[i]/(cnt[i]+1)*(cnt[i]+2);
                cnt[i*prime[j]]=cnt[i]+1;
                break;
            }
            else
            {
                cnt[i*prime[j]]=1;
                div[i*prime[j]]=div[i]*div[prime[j]];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    primetable4();
    for(int i=1;i<=100;i++)  cout<<i<<"  "<<div[i]<<endl;
    return 0;
}
div[]为因子个数，cnt[]为最小素因子个数

它还可以很快地生成欧拉函数表

#define N 10000000

bool iscomp[N+1];
int prime[N],p;
int phi[N+1];

void primetable3()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(iscomp[i]==false)
        {
            prime[p++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<p&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            iscomp[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

phi[]即为欧拉函数值表

后记:结合线性筛素数算法的优化算法

基于这个线性筛素数算法,我们可以很容易地得到某个数的最小素因子。

因为当i%pr[j]!=0的时候,最小素因子pr[j]与i互质,满足积性函数的条件,可以直接得到f(i*pr[j])=f(i)*f(pr[j]).

不过当i%pr[j]==0时我们必须根据该积性函数本身的特性进行计算.或者在筛的同时保存并递推些附加信息.总之要O(1)求得f(i*pr[j])及完成递推附加信息.

上面介绍的两个则是最常用的,其实还可以有很多扩展,这里就不谈了....