三角形的四心的向量表示

前言

但三角形的四心用文字语言表述时,许多学生还可以对付一阵,若换成向量形式的符号语言,则大多就哑口无言了,所以有必要将三角形四心的向量表示形式好好作以总结储备。

三角形重心

  • 重心:三角形的三条中线的交点。
  • 命题一、已知(O)(Delta ABC)内的一点,若(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=vec{0}),则(O)(Delta ABC)的重心;

证明:必要性,由于(O)(Delta ABC)的重心,则线段(AD、BE、CF)为三角形的三条中线,

则有(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AD}=cfrac{4}{3}overrightarrow{AO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OA})

(overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}=2overrightarrow{BE}=cfrac{4}{3}overrightarrow{BO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OB})

(overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}=2overrightarrow{CF}=cfrac{4}{3}overrightarrow{CO}=-cfrac{4}{3}overrightarrow{OC})

(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})(=-cfrac{4}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}))

(=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{CA}=vec{0})

充分性,由(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=vec{0}),得到(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=-overrightarrow{OA})

(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}=2overrightarrow{OD}),则(-overrightarrow{OA}=2overrightarrow{OD})

故点(A、O、D)三点共线,且(AD)为三角形的一条中线;

同理,(BE、CF)为三角形的中线;故(O)(Delta ABC)的重心;证毕。

在具体题目中的应用形式举例,如【2020宝鸡市二检理科第15题】已知点(P)为三角形( riangle ABC)内部一点,且满足(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}=overrightarrow{AP}),即(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PA}=vec{0}),故点(P)是三角形的重心。

  • 命题二、(O)(Delta ABC)的重心,则(S_{Delta AOB}=S_{Delta BOC}=S_{Delta COA})

证明:(O)(Delta ABC)的重心,令边(AB)上的高线为(h)

(S_{Delta AOB}=cfrac{1}{2}cdot ABcdot cfrac{h}{3}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})

同理,(S_{Delta BOC}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})(S_{Delta AOC}=cfrac{1}{3}S_{Delta ABC})

(S_{Delta AOB}=S_{Delta BOC}=S_{Delta COA})

  • 命题三、已知(D、E、F)(Delta ABC)的边(BC、AC、AB)的中点,则(overrightarrow{AD}+overrightarrow{BE}+overrightarrow{CF}=vec{0})

证明:已知(D、E、F)(Delta ABC)的边(BC、AC、AB)的中点,(O)(Delta ABC)的重心,

(overrightarrow{AD}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}))(overrightarrow{BE}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{BC}+overrightarrow{BA}))(overrightarrow{CF}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB}))

(overrightarrow{AD}+overrightarrow{BE}+overrightarrow{CF})(=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{CA}+overrightarrow{CB}) =vec{0})

  • 命题四、平行四边形(ABCD)的中心是(O)(P)为平面上任意一点,则(overrightarrow{PO}=cfrac{1}{4}(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PD}))

证明:平行四边形(ABCD)的中心是(O)(P)为平面上任意一点,

则在(Delta PAC)中,(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PC}=2overrightarrow{PO}),在(Delta PBD)中,(overrightarrow{PB}+overrightarrow{PD}=2overrightarrow{PO})

(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PD})(=4overrightarrow{PO})

(overrightarrow{PO}=cfrac{1}{4}(overrightarrow{PA}+overrightarrow{PB}+overrightarrow{PC}+overrightarrow{PD}))

三角形外心

  • 外心:三角形的三条边的中垂线交点,也是外接圆的圆心;
  • 已知(O)(Delta ABC)内的一点,满足(|overrightarrow{OA}|=|overrightarrow{OB}|=|overrightarrow{OC}|),则(O)(Delta ABC)的外心;

三角形垂心

  • 垂心:三角形的三条边的高线的交点。
  • 命题一、已知(O)(Delta ABC)内的一点,满足(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OC}=overrightarrow{OB}cdotoverrightarrow{OC}),则(O)(Delta ABC)的垂心;

证明:由于(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OC}),则(overrightarrow{OA}cdot(overrightarrow{OB}-overrightarrow{OC})=0)

(overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{CB}=0),则(OAperp BC)

同理可得(OBperp AC)(OCperp AB),故(O)(Delta ABC)的垂心;

  • 命题二、已知(O)(Delta ABC)所在平面内的一点,且(|overrightarrow{OA}|^2+|overrightarrow{BC}|^2)(=|overrightarrow{OB}|^2+)(|overrightarrow{CA}|^2)(=|overrightarrow{OC}|^2+)(|overrightarrow{AB}|^2),则(O)(Delta ABC)的垂心;

三角形内心

  • 内心:三角形的三个内角平分线的交点,也是内切圆的圆心;
  • 命题一、(O)(Delta ABC)的内心的充要条件是

(overrightarrow{OA}cdot(cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|}))(= overrightarrow{OB}cdot(cfrac{overrightarrow{BA}}{|overrightarrow{BA}|}-cfrac{overrightarrow{BC}}{|overrightarrow{BC}|}))(=overrightarrow{OC}cdot(cfrac{overrightarrow{CA}}{|overrightarrow{CA}|}-cfrac{overrightarrow{CB}}{|overrightarrow{CB}|})=0)

证明:充分性,如图,向量(overrightarrow{AB})(overrightarrow{AC})的单位向量分别是(overrightarrow{AE})(overrightarrow{AD})

(Delta ADE)为等腰三角形,

(overrightarrow{OA}cdot (cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|}))(=overrightarrow{OA}cdot (overrightarrow{AE}-overrightarrow{AD}))(=overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{DE}=0)

(OA)(angle A)的平分线;同理可得(OB)(OC)分别为(angle B、angle C)的平分线;

故点(O)(Delta ABC)的内心。

必要性,由点(O)(Delta ABC)的内心,则可知(OA)(angle A)的平分线,

故容易知道(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{DE}=0)

(overrightarrow{OA}cdot(cfrac{overrightarrow{AB}}{|overrightarrow{AB}|}-cfrac{overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AC}|})=0)

同理可知$ overrightarrow{OB}cdot(cfrac{overrightarrow{BA}}{|overrightarrow{BA}|}-cfrac{overrightarrow{BC}}{|overrightarrow{BC}|})$$=overrightarrow{OC}cdot(cfrac{overrightarrow{CA}}{|overrightarrow{CA}|}-cfrac{overrightarrow{CB}}{|overrightarrow{CB}|})=0$,证毕。

  • 命题二、记(overrightarrow{AB}、overrightarrow{BC}、overrightarrow{CA})的单位向量为(vec{e_1})(vec{e_2})(vec{e_3}),则(O)(Delta ABC)的内心的充要条件是(overrightarrow{OA}cdot (vec{e_1}+vec{e_3})=overrightarrow{OB}cdot (vec{e_1}+vec{e_2})=overrightarrow{OC}cdot (vec{e_2}+vec{e_3})=vec{0})

  • 与向量(vec{a})共线的单位向量为两个,(pmcfrac{vec{a}}{|vec{a}|})

解题经验

在具体的题目求解中,关于多个向量的线性表示形式,其难点往往是其系数的恰当拆分。

引例1若已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AE}),或者(overrightarrow{AE}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC})),则可知点(E)(BC)的中点;

已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=3overrightarrow{AD}),则(3overrightarrow{AD}=2overrightarrow{AE}),则(overrightarrow{AD}=cfrac{2}{3}overrightarrow{AE}),可知点(D)( riangle ABC)的重心;

引例2若由题目可知(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0}),将其系数做恰当的拆分得到,((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}))(+2(overrightarrow{OB})(+overrightarrow{OC}))(=vec{0}),如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE}),即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE}),即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上,且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7655864.html