前言
求二元函数的和差的取值范围或者积商的取值范围。
不等式性质
注意：求解(x-y)类的范围，其实是用(x)加上(-y)的范围得到的；求解(cfrac{a}{b})的范围，其实是用(a)的范围乘以(cfrac{1}{b})的范围得到的；
分析：(4<cfrac{1}{b}<8)，(ain (1，3))，所以(4<cfrac{a}{b}<24)；
典例剖析
已知二元函数的和差的范围，求其和差的范围；
【法1：错解】由(egin{cases}1leq f(-1)leq 2\2leq f(1)leq 4end{cases})得到(egin{cases}1leq a-b leq 2&①\2leq a+b leq 4&②end{cases})，
利用不等式的性质，将①②式相加减，得到(cfrac{3}{2}leq a leq 3，0leq b leq cfrac{3}{2})，
所以(6 leq 4a leq 12，-3leq -2b leq 0)，所以(3 leq 4a-2b leq 12)，
故$ 3 leq f(-2)=4a-2b leq 12$
错因分析：由于(left{egin{array}{l}{a>b}\{c>d}end{array} ight.)是(a+c>b+d)的充分不必要条件，故逆向推理不成立；
【错因分析】以上的解法打破了(a，b)取值的内在联系，它们的范围会发生变化，如由(cfrac{3}{2}leq a leq 3)，(0leq b leq cfrac{3}{2})，当我们取(a=cfrac{3}{2})，(b=cfrac{3}{2})时，很明显(a-b=0，a-b otin [1，2])，故只要解法中没有把(a-b)，(a+b)当成一个整体对待的都是有问题的解法。
【法2】待定系数法，令(f(-2)=mf(-1)+nf(1))，
则由(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b)，
又由已知可知(f(-2)=4a-2b)
所以由对应系数相等得到方程(egin{cases} m+n=4 \ m-n=2 end{cases})
解得(m=3，n=1)
又由于(1leq f(-1)leq 2)，$ 2leq f(1)leq 4$，
所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，
故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，
即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)。
【法3】：方程组法
由已知有(egin{cases} f(-1)=a-b \ f(\,\,\,\,1)=a+b end{cases})，
解得(egin{cases} a=cfrac{1}{2}cdot [f(-1)+f(1)] \ b=cfrac{1}{2}cdot [f(1)- f(-1)] end{cases})
所以(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1))，
又由于(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)，
所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，
故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，
即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)
【法4】：线性规划法
用线性规划分析错误原因：
解法1中得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})，
由此作图得到的是矩形(EFGH)，由条件(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)得到的是矩形(ABCD)，
很显然两个矩形不一样，那么那个图形是对的？
我们可以看到在(Delta ADH)内部的点，由线性规划知识可知并不满足条件(1leq a-bleq 2)，(2leq a+bleq 4)，
因此得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})是错的，显然扩大了单个(a、b)的取值范围。
正解分析：由线性规划可知，
当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(A(cfrac{3}{2}，cfrac{1}{2}))时，
(z=4x-2y)有最小值，且(z_{min}=4 imescfrac{3}{2}-2 imescfrac{1}{2}=5)；
当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(C(3，1))时，
(z=4x-2y)有最大值，且(z_{max}=4 imes3-2 imes1=10)；
已知二元函数的积商的范围，求其积商的范围；
【法1】：类比上例中的法3
(ecause 1leq lgxy leq 2， herefore 10leq xy leq 10^2，)
又(ecause 3leq lgcfrac{x}{y} leq 4， herefore 10^3leq cfrac{x}{y} leq 10^4，)
$ 10^3leq (xy)^3 leq 10^6，10^3leq cfrac{x}{y} leq 10^4，$
$ 10^6leq x^3cdot y^3 cdot cfrac{x}{y} =x^4cdot y^2 leq 10^{10}，$
$ 6leq lg(x^4y^2) leq 10$ ;
【法2】：类比上例中的法2
(1leq lgxy leq 2)，(3leq lgcfrac{x}{y} leq 4，)
(1leq lgx+lgy leq 2)，(3leq lgx-lgy leq 4，)
仿照上例中的解法2，求得恰当的系数，可得
(3leq 3lgx+3lgy leq 6)，(3leq lgx-lgy leq 4，)
所以同向不等式相加得到
(6leq 3lgx+3lgy+lgx-lgy leq 10)
即(6leq 4lgx+2lgy=lg(x^4y^2) leq 10)
$ 6leq lg(x^4y^2) leq 10$
【解后反思】之所以将这两个例题放在一起，是因为例1中涉及到两个变量的加减运算，而例2中涉及两个变量的乘除运算。
分析：①已知条件等价转化为不等式组(left{egin{array}{l}{-cfrac{pi}{2}<alpha<cfrac{pi}{2} }\{ -cfrac{pi}{2}<eta<cfrac{pi}{2} }\{ alpha<eta }end{array} ight.)，
这样得到(-pi<alpha-eta<pi)，且(alpha-eta<0)，故(-pi<alpha-eta<0)，
②仿上，先转化得到(-pi<alpha-eta<0)，又由于(-cfrac{pi}{2}<alpha<cfrac{pi}{2})，
两个同向不等式相加，得到(-cfrac{3pi}{2}<2alpha-eta<cfrac{pi}{2})，