曲线的旋转

前言

高中阶段的曲线变换的考察，主要围绕曲线的平移、伸缩变换；对任意曲线而言，旋转变换后有些曲线的表达式会非常复杂，故涉及曲线的旋转的考察，往往只涉及很特殊而简单的曲线，比如圆，而且大多是经过原点且绕原点旋转，此时只要抓住圆心和半径做研究即可；其实，更简单的思路是采用相关点法。

典例剖析

【2021届高三文数三轮模拟题】以平面直角坐标系的原点 (O) 为极点， (x) 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 (C_{1}) 的极坐标方程为 ( ho=4sin heta)，将曲线 (C_{1}) 绕极点逆时针旋转 (cfrac{2pi}{3}) 后得到曲线 (C_{2}).

(1). 求曲线 (C_{2}) 的极坐标方程；

解析：设 曲线 (C_1) 上的任一点的极坐标为 (P( ho_1, heta_1))，旋转后对应曲线 (C_{2}) 上的点的极坐标为 (P'( ho, heta))，

则 (left{egin{array}{l} ho= ho_1\ heta= heta_1+cfrac{2pi}{3}end{array} ight.)，故有(left{egin{array}{l} ho_1= ho\ heta_1= heta-cfrac{2pi}{3}end{array} ight.)，

由于(( ho_1, heta_1)) 在 曲线(C_{1})上， 即 (( ho, heta-cfrac{2pi}{3})) 满足曲线 (C_{1})方程，

故 ( ho=4sin( heta-cfrac{2 pi}{3}))，即曲线 (C_{2}) 的极坐标方程为 ( ho=4sin( heta-cfrac{2pi}{3})).

(2)若直线 (l: heta=alpha( hoin R)) 与 (C_{1})， (C_{2}) 分别相交于异于极点的 (A)，(B) 两点，求 (|AB|) 的最大值.

解析： 设 (A( ho_{A},alpha))， (B( ho_{B},alpha))，

则 (|AB=| ho_{A}- ho_{B}|=|4sinalpha-4sin(alpha-cfrac{2pi}{3})|=|6sinalpha+2sqrt{3}cos a|)

(=4sqrt{3}|sin(alpha+cfrac{pi}{6})|leqslant 4sqrt{3})，

当且仅当 (alpha=cfrac{pi}{3})时，等号成立，

故 (|AB|) 的最大值为 (4sqrt{3}).

【2020 (cdot) 河南郑州一模】已知曲线 (C_{1}: x^{2}+(y-3)^{2}=9)， (A) 是曲线 (C_{1}) 上的动点，以坐标原点 (O) 为极点， (x) 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点 (O) 为中心，将点(A)绕点 (O) 逆时针旋转 (90^{circ}) 得到点 (B)， 设点 (B) 的轨迹方程为曲线 (C_{2}).

(1).求曲线 (C_{1})， (C_{2}) 的极坐标方程;

解析 : 曲线 (C_{1}: x^{2}+(y-3)^{2}=9)， 即 (x^{2}+y^{2}-6y=0)，所以曲线 (C_{1}) 的极坐标方程为 ( ho=6sin heta).

设 (B( ho, heta))， 则 (A( ho, heta-cfrac{pi}{2}))，[此处使用了相关点法]

由于点(A)在曲线(C_1)上，故满足曲线(C_1)的方程，则有 ( ho=6sin( heta-cfrac{pi}{2})=-6cos heta).

所以曲线 (C_{2}) 的极坐标方程为 ( ho=-6cos heta).

(2). 射线 ( heta=cfrac{5pi}{6}( ho>0)) 与曲线 (C_{1})， (C_{2}) 分别交于 (P)， (Q) 两点, 定点 (M(-4,0))，求 ( riangle MPQ) 的面积.

解析： (M) 到射线 ( heta=cfrac{5pi}{6}( ho>0)) 的距离为 (d=4sincfrac{5pi}{6}=2)，

射线 ( heta=cfrac{5pi}{6}( ho>0)) 与曲线 (C_{1}) 的交点 (P( ho_{_{P}}, cfrac{5pi}{6}))， 其中，( ho_{_{P}}=6sincfrac{5pi}{6}=3)，

射线 ( heta=cfrac{5pi}{6}( ho>0)) 与曲线 (C_{2}) 的交点 (Q( ho_{_{Q}}, cfrac{5pi}{6}))， 其中， ( ho_{_{Q}}=-6coscfrac{5pi}{6}=3sqrt{3})

则 (|PQ|=| ho_{_{P}}- ho_{_{Q}}|=3sqrt{3}-3)， 则 (S_{ riangle MPQ}=cfrac{1}{2}cdot|PQ|cdot d=3sqrt{3}-3).