三角形的某角取到最大值

前言

当三角函数题目中有关键词“三角形某角取到最大值[可引申为或求最小值]时”，这类题目常要用到这个角的某种三角函数 [或正弦、或余弦、或正切] 的单调性，至于到底要用到哪一种，取决于题目的给定条件和变形方向，同时此类题目也常会用到均值不等式求题目中的最值.

另外，请注意总结关于分式的常用变形；

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】已知三角形的内角 (A、B、C) 所对的对边分别是 (a、b、c) ，若 (a=sqrt{2}) ， (b^2-c^2=6) ，则角 (A) 取得最大值时，三角形 (ABC) 的面积为_________。

分析：由 (cosA=cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cfrac{b^2+c^2-2}{2bc})

(=cfrac{b^2+c^2-cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=cfrac{b^2+2c^2}{3bc}geqslant cfrac{2sqrt{2}}{3})，

即 (cosA) 的最小值为 (cfrac{2sqrt{2}}{3}) ，当且仅当 (b=sqrt{2}c) 且 (b^2-c^2=6) ，

即 (b=2sqrt{3}) ， (c=sqrt{6}) 时取到等号；此时 (A) 取到最大值，(sinA=cfrac{1}{3})，

故(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2} imes 2sqrt{3} imes sqrt{6} imes cfrac{1}{3}=sqrt{2})。

反思：①常数代换，由(2=cfrac{6}{3}=cfrac{b^2-c^2}{3})，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求(cosA)的最值。

【2020 (cdot) 安徽名校联盟联考】在 ( riangle ABC) 中，角 (A)， (B)， (C) 所对的边分别为 (a)， (b)， (c)，若 (bc=1)，(b+2ccos A=0)，则当角 (B) 取得最大值时， ( riangle ABC) 的周长为【(quad)】

$A.2+sqrt{3}$ $B.2+sqrt{2}$ $C.3$ $D.3+sqrt{2}$

解析：由题意可得， (sin B+2sin Ccos A=0)，

即 (sin(A+C)+2sin Ccos A=0)，

得 (sin Acos C=-3sin Ccos A)，即 ( an A=-3 an C)，

又 (cos A=-cfrac{b}{2c}<0)，所以角 (A) 为钝角，于是 ( an C>0)，

从而 ( an B=- an(A+C)=-cfrac{ an A+ an C}{1- an A an C})

(=cfrac{2 an C}{1+3 an^{2}C})

(=cfrac{2}{cfrac{1}{ an C}+3 an C}),

由基本不等式，得 (cfrac{1}{ an C}+3 an Cgeqslant 2sqrt{cfrac{1}{ an C} imes 3 an C}=2sqrt{3})，

当且仅当 ( an C=cfrac{sqrt{3}}{3}) 时，等号成立，

即 ( an Bleqslant cfrac{2}{2sqrt{3}}=cfrac{sqrt{3}}{3})，由于 (y= an x)在 ((0,cfrac{pi}{2}))上单调递增，

故此时角 (B) 取得最大值，且 ( an B= an C=cfrac{sqrt{3}}{3})， ( an A=-sqrt{3})，

即 (b=c)， (A=120^{circ})，又 (bc=1)，

所以 (b=c=1)， (a=sqrt{3})，故 ( riangle ABC) 的周长为 (2+sqrt{3}).

在(Delta ABC)中，角(A、B、C)的对边分别为(a、b、c)，若(b=1)，(a=2c)，则当(C)取最大值时，(Delta ABC)的面积为【】

$A、cfrac{sqrt{3}}{3}$ $B、cfrac{sqrt{3}}{6}$ $C、cfrac{2sqrt{3}}{3}$ $D、sqrt{3}$

分析：当 (C) 取到最大值时， (cosC) 取得最小值，故先研究 (cosC) ，

(cosC=cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=cfrac{3c^2+1}{4c})

(=cfrac{1}{4}(3c+cfrac{1}{c})ge cfrac{1}{4}cdot 2sqrt{3}=cfrac{sqrt{3}}{2})，

当且仅当(3c=cfrac{1}{c})，即(c=cfrac{sqrt{3}}{3})时取得等号；

且此时(sinC=cfrac{1}{2})，故当(C)取到最大值时，

(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}absinC)

(=cfrac{1}{2}cdot 2ccdot 1cdot cfrac{1}{2}=cfrac{sqrt{3}}{6})，

故选(B)。

【2021届高三文科小题满分练】已知 ( riangle ABC) 的内角 (A)， (B)， (C) 的对边分别为 (a)， (b)， (c)，若 (2csin C)(=)((a+b))((sin B-sin A))，则当角 (C) 取得最大值时， (B) 等于【 (quad) 】

$A.cfrac{pi}{3}$ $B.cfrac{pi}{6}$ $C.cfrac{pi}{2}$ $D.cfrac{2pi}{3}$

解析：由正弦定理角化边，得 (2c^{2}=(a+b)(b-a))，

即 (b^{2}-a^{2}=2 c^{2})，即(c^2=cfrac{b^2-a^2}{2})，

则由余弦定理得，

[cos C=cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=cfrac{3a^{2}+b^{2}}{4ab}geqslantcfrac{2sqrt{3a^{2}cdot b^{2}}}{4ab}=cfrac{sqrt{3}}{2} ]

当且仅当 (b=sqrt{3}a) 时等号成立，则易知角 (C) 的最大值为 (cfrac{pi}{6}).

当 (b=sqrt{3}a) 时， (3a^{2}-a^{2}=2c^{2})，则 (a=c)，

所以 (A=C=cfrac{pi}{6})， (B=pi-cfrac{pi}{6}-cfrac{pi}{6}=cfrac{2pi}{3})，故选 (D).