前言
以下是正弦型函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))的平移效果图像，可以自己体会一番；
动手体验，反思总结：
①.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像重合，则平移长度必然等于周期(T)的整数倍(k(kin ))，或者平移前后的自变量整体差值为周期(T)的整数倍(k(kin ))；
思路1：由平移长度必然等于周期的整数倍得到，(cfrac{pi}{3}=kcdot cfrac{2pi}{omega})，((kin ))；
整理得到(omega=6k(omega >0))，故(omega_{min}=6)；
思路2：由平移前后的自变量整体差值为(kcdot 2pi(kin ))得到，
即(omega(x+cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{4}=omega x+cfrac{pi}{4}+2kpi)，((kin ))；
整理得到(omega=6k(omega>0))，故(omega_{min}=6)；
②.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像对称轴重合，则平移长度必然等于半周期(cfrac{T}{2})的整数倍(k(kin ))，或者平移前后的自变量整体差值为半周期(cfrac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；
典例剖析
法1：将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向左平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，
得到(y=2sin[omega (x+cfrac{pi}{4})-cfrac{pi}{4}]=2sin(omega x+cfrac{(omega-1)pi}{4}))；
将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向右平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，
得到(y=2sin[omega (x-cfrac{pi}{4})-cfrac{pi}{4}]=2sin(omega x-cfrac{(omega+1)pi}{4}))；
由于平移后的对称轴重合，故自变量的整体差值为(kpi)将两个自变量都视为整体，则其(T=2pi)，半周期为(pi)，故其差值为(kpi)。(quad)，
故(omega x+cfrac{(omega-1)pi}{4}=omega x-cfrac{(omega+1)pi}{4}+kpi(kin ))；
化简得到(omega=2k(kin ))，又(omega>0)， 故(omega_{min}=2)。
法2：将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向左平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，
由于周期的作用，其实平移的长度是(cfrac{piomega}{4})；
将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向右平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，
由于周期的作用，其实平移的长度也是(cfrac{piomega}{4})；
这样的平移效果，相当于视原图像不动，再将其图像一次平移距离为(cfrac{2piomega}{4})；
由于平移后两个函数的对称轴重合，故平移距离应该是半周期的整数倍，即(kpi)，即(cfrac{2piomega}{4}=kpi)，
化简得到(omega=2k(kin Z))，又(omega>0)，故(omega_{min}=2)。
法1：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，
则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，
又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 则变换得到下式，
则 (2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=2sin[2(cfrac{pi}{12}-x)+2t-cfrac{pi}{6}]=-2sin(2x-2t))
即(sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=-sin(2x-2t))，
故有(2x+2t-cfrac{pi}{6}=2x-2t+(2k+1)pi)，(kin )，
即(4t=(2k+1)pi+cfrac{pi}{6})，(kin )，
又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).
对以上的三角方程作以抽象，即可得到三角方程的最简模型：
由(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像完全重合；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+2kpi)，(kin )；
由(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像关于(x)轴对称；或者两个函数图像的对称轴重合；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+(2k+1)pi)，(kin )；
法2：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，
则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，
又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 即(x=cfrac{pi}{24})为函数(g(x))的对称轴，
即(x=cfrac{pi}{24})能使得函数(g(x))的值取到最值；
故(2 imescfrac{pi}{24}+2t-cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin )；
整理为(t=cfrac{kt}{2}+cfrac{7pi}{24})，(kin )；
又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).
等价刻画
为控制难度，便于理解，暂时只涉及正(余)弦型，正切型可以类比分析；
①当周期函数的图像平移前和平移后，图像完全重合，则平移的距离一定是周期(T)的整数倍(k(kin ))；
②当周期函数的图像平移的距离是周期(T)的整数倍(k(kin ))时，则其图像必然完全重合，或者所有性质都相同；
③当周期函数的图像平移前和平移后，函数的单调性完全相同，则平移的距离一定是周期(T)的整数倍(k(kin ))；
④当周期函数的图像平移前和平移后，图像的对称轴完全重合，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；
⑤当周期函数的图像平移前和平移后，两个图像关于(x)轴对称，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；
⑥当周期函数的图像平移前和平移后，函数的单调性完全相反，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；