前言
我们在平时的数学训练中必然会有意追求思维的发散性和灵活性，运算的流畅性、准确性和快捷感，这些都是需要平时有意识的培养和训练的，以下举例加以说明；
发散案例
〔解答范式〕：由于对于任意的(xin R)，都有(f(x)leqslant m)成立，
故只需要(f(x)_{max}leqslant m)，故转化为求(f(x)_{max})，
由于(f(x)=sin2x+2cos^2x=sin2x+cos2x+1=sqrt{2}sin(2x+cfrac{pi}{4})+1)，(xin R)，
故(f(x)_{max}=sqrt{2}+1)，即(mgeqslant sqrt{2}+1)，
故实数(m)的最小值为(sqrt{2}+1).
低阶层次
如果拿到题目，纯粹没有思路，不知道如何下手分析，那么你需要：
①理解和建立恒成立命题的模型，对此有个框架性的了解；
②求三角函数的值域[或最值]的模型；
中阶层次
如果拿到题目，大概有求解的思路，但思路不是很清晰，那么你需要：
①就左端的三角函数而言，求其值域或者最值，还有哪些不同的思路和类型？三角函数的值域[或最值]
分析：由于(xin[0，cfrac{pi}{2}])，则(cosxin [0，1])，
令(cosx=tin [0，1])，(f(x)=1-cos^2x+sqrt{3}cosx-cfrac{3}{4}=1-t^2+sqrt{3}t-cfrac{3}{4}=-(t-cfrac{sqrt{3}}{2})^2+1=g(t))，
故当(t=cfrac{sqrt{3}}{2})时，(g(t)_{max}=f(x)_{max}=1)。
分析：令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，
则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，
则原函数转化为(y=g(x)=cfrac{frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=cfrac{1}{2}(t-cfrac{1}{t})，tin [1，sqrt{2}])单调递增；
则(y_{min}=g(1)=0)，(y_{max}=g(sqrt{2})=cfrac{sqrt{2}}{4})，
解析：(f'(x)=-sinx-cfrac{1}{2}cdot 2cdot cos2x)
(=-sinx-cos2x)
(=-sinx-(1-2sin^2x))
(=2sin^2x-sinx-1=(sinx-1)(2sinx+1))，
由于(-1leq sinxleq 1)，故(sinx-1leq 0)，
则令(f'(x)>0)，即((sinx-1)(2sinx+1)> 0)，即(2sinx+1<0)，
即(sinx<-cfrac{1}{2})，解得(2kpi+cfrac{7pi}{6}<x<2kpi+cfrac{11pi}{6}(kin Z))，
令(f'(x)<0)，即((sinx-1)(2sinx+1)<0)，即(2sinx+1>0)，
即(sinx>-cfrac{1}{2})，解得(2kpi-cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{7pi}{6}(kin Z))，
即单调递减区间为([2kpi-cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{7pi}{6}](kin Z))，
单调递增区间为([2kpi+cfrac{7pi}{6}，2kpi+cfrac{11pi}{6}](kin Z))，
故当(x=2kpi+cfrac{11pi}{6})时，(f(x))取得最大值；
(f(x)_{max}=cos(2kpi+cfrac{11pi}{6})-cfrac{1}{2}sin2(2kpi+cfrac{11pi}{6}))
(=cos(2pi-cfrac{pi}{6})-cfrac{1}{2}sin(4pi-cfrac{pi}{3}))
(=cfrac{sqrt{3}}{2}+cfrac{1}{2}cdotcfrac{sqrt{3}}{2}=cfrac{sqrt{3}}{4})。
提示：令(sinx=tin [-1，1])，则原函数转化为(y=t(1-t^2))，(t in [-1，1])，(y_{max}=cfrac{3sqrt{2}}{9})；
②如果左端的函数变化为其他类型的函数，其最值如何求解？
比如二次函数(h(x)=2x^2-3x+1)，(xin [1,2])；
指数型函数(g(x)=4^x+2^x-1)，(xin [1,2])；
对数型函数(f(x)=log_2^2x+3log_2x-1)，(xin [1,2])；
分式型函数(f(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；则(n(x)=cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}=cfrac{1}{(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1})
如(g(t)=cfrac{t}{t^2+9}=cfrac{1}{t+frac{9}{t}})；如(h(t)=cfrac{t+2}{t^2}=cfrac{1}{t}+2(cfrac{1}{t})^2=2m^2+m);
③如果题目变化为能成立命题，又需要如何转化求解？
高阶层次
如果拿到题目，有求解的思路，思路也很清晰，那么你需要：
①如果题目给定不等式(sin2x+2cos^2xleqslant m)对于任意的(xin R)都成立，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？
分析：题目由函数不等式，变化为纯粹的不等式恒成立；
②如果题目转化为(sin2x-m+2cos^2xleqslant 0)对于任意的(xin R)都成立，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？
分析：需要添加分离参数的变形；
分析：先由(f(1-x)=f(1+x))得到，二次函数的对称轴(x=-cfrac{a}{-2}=1)，解得(a=2)，
故题目转化为(-x^2+2x+b^2-b+1>0)对任意(xin [-1,1])恒成立，
用整体法分离参数，得到(b^2-b>x^2-2x-1)对任意(xin[-1,1])恒成立。
令(g(x)=x^2-2x-1，xin[-1,1])，需要求函数(g(x)_{max})；
(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，xin[-1，1])，
故(g(x))在区间([-1，1])上单调递减，则(g(x)_{max}=g(-1)=2)，
故(b^2-b>2)，解得(b<-1)或(b>2)。
③如果题目转化为函数(h(x)=sin2x-m+2cos^2x)的图像始终在(x)轴的下方，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？
分析：由形的角度转化为数的角度；
④哪些命题能转化为恒成立命题
分析：有些题目是很明显的恒成立命题，但是有些题目却需要我们分析转化；
⑤哪些命题能转化为能成立命题
分析：有些题目是很明显的能成立命题，但是有些题目却需要我们分析转化；
⑥分离参数法
分析：由于对于任意的(xin R)，都有(|vec{b}+xvec{a}|geqslant |vec{b}-vec{a}|)，
则(|vec{b}+xvec{a}|^2geqslant |vec{b}-vec{a}|^2)对于任意的(xin R)都成立，
即((vec{b}+xvec{a})^2geqslant (vec{b}-vec{a})^2)对于任意的(xin R)都成立，
即(vec{b}^2+2xvec{a}cdotvec{b}+x^2cdot vec{a}^2geqslant vec{b}^2+vec{a}^2-2vec{a}cdotvec{b})，
即(vec{a}^2cdot x^2+2cdot |vec{a}|cdot cfrac{sqrt{2}}{2}cdot cfrac{sqrt{2}}{2}x+2cdot |vec{a}|cdot cfrac{sqrt{2}}{2}cdot cfrac{sqrt{2}}{2}-vec{a}^2geqslant0)，
由于(vec{a} eq vec{0})，故上式是关于(x)的二次不等式，注意：(vec{a}^2=|vec{a}|^2)，
即(|vec{a}|^2cdot x^2+|vec{a}|cdot x+|vec{a}|-|vec{a}|^2geqslant 0)对于任意的(xin R)都成立，
故(Delta leqslant 0)恒成立，即(Delta=|vec{a}|^2-4|vec{a}|^2(|vec{a}|-|vec{a}|^2)leqslant 0)，
即(1-4(|vec{a}|-|vec{a}|^2)leqslant 0)，即((2|vec{a}|-1)^2leqslant 0)，
又由于((2|vec{a}|-1)^2geqslant 0)，故只能((2|vec{a}|-1)^2=0)，
即(|vec{a}|=cfrac{1}{2})。