符号法则
符号语言：$ab=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)或(b=0)；
符号语言：$ab
eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a
eq 0)且(b
eq0)；
符号语言：$abge 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bge0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bleq 0 end{cases})；
符号语言：$ableq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bleq 0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bge 0 end{cases})；
符号语言：$a^2+b^2=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)且(b=0)； 自然语言：(a、b)全为零；
符号语言：$a^2+b^2
eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a
eq 0)或(b
eq 0)； 自然语言：(a、b)不全为零；
符号语言：(a>0,b>0) $Rightarrow $ 自然语言：(a+b>0)； 即正+正=正；
符号语言：(a<0,b<0) $Rightarrow $ 自然语言：(a+b<0)； 即负+负=负；
解不等式中
分析：由题目可知，(left{egin{array}{l}{x-1>0}\{f'(x)>0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x-1<0}\{f'(x)<0}end{array} ight.)
则得到，当(x>1)时，(f'(x)>0)，即函数(f(x))在区间((1，+infty))上单调递增；
当(x<1)时，(f'(x)<0)，即函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减；
法1：穿根法，略；
法2：分析，原不等式等价于(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2>0}\{x+1<0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2<0}\{x+1>0}end{array} ight.)
解集为((-infty，-1)cup(1，2))；
不等式性质中
用图像解不等式
解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式
法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；
法2：利用积的符号法则求解，
原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases})，
读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；
感悟反思：1、学图像，用图像，天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像，对解题很有帮助。
分析：由于(f(x+1))为偶函数，故其满足(f(-x+1)=f(x+1))，则函数(f(x))的对称轴为(x=1)，
可以先做出函数(y=f(x+1))的示意图，再向右平移一个单位得到函数(y=f(x))的示意图如下，
不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)可化为(left{egin{array}{l}{x>1}\{f(x)leqslant 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x<1}\{f(x)geqslant 0}end{array} ight.)
解读图像可知，解集为({xmid xleqslant 0或1<xleqslant 2})，故(xin (-infty，0]cup(1，2]).
大小比较中
分析：由于(a_1，a_2in (0，1))，则(a_1-a<0)，(a_2-1<0)，
(M-N=a_1a_2-(a_1+a_2-1)=a_1a_2-a_1-a_2+1=(a_1-1)(a_2-1)>0)，故(M>N).
导数的单调性中
用不等式性质判断导函数正负
分析：由于(x>0)，分离参数得到，(age cfrac{1}{lnx}-cfrac{1}{4x}=g(x))，需要求函数(g(x)_{min})，
(g'(x)=cfrac{-frac{1}{x}}{(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=-cfrac{1}{x(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2cdot (lnx)^2})
接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，
由于(xin [e，e^2])，则(-4xin [-4e^2，-4e])，又(lnxin [1，2])，((lnx)^2in [1，4])，
则必有(-4x+(lnx)^2<0)，即(g'(x)<0)，故(g(x))在区间([e，e^2])上单调递减，
故(g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2})，故(ain [cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2}，+infty))。
说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；
在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像，用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负
分析：定义域为(R)，(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a))，
在同一个坐标系中做出函数(y=x-1)[定图]和函数(y=e^x+2a)[动图]的图像，
根据动图(y=e^x+2a)是否与(x)轴有交点分类讨论如下：[^wh01]
①当(2age 0)时，即(age 0)时，恒有(e^x+2a>0)，
当(xin (-infty，1))上时，(x-1<0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0)，故(f(x))单调递减，
当(xin (1，+infty))上时，(x-1>0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0)，故(f(x))单调递增，
当(2a<0)时，即(a<0)时，(y=e^x+2a)与(x)轴有交点，令(e^x+2a=0)，解得(x=ln(-2a))，
然后针对(ln(-2a))与(1)的大小关系继续细分如下，主要是(ln(-2a))和(1)分别是两个因子函数的零点；
②当(ln(-2a)<1)时，即(-cfrac{e}{2}<a<0)时，
当(xin(-infty，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
当(xin(ln(-2a)，1))时，(e^x+2a>0)，(x-1<0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；
当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
③当(ln(-2a)=1)时，即(a=-cfrac{e}{2})时，
当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
即(xin (-infty，+infty))时，恒有(f'(x)ge 0)，当且仅当(x=1)时取到等号，故(f(x))单调递增；
④当(ln(-2a)>1)时，即(a<-cfrac{e}{2})时，
当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
当(xin(1，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1>0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；
当(xin(ln(-2a)，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；
综上所述，
当(a<-cfrac{e}{2})时，单增区间为((-infty，1))和((ln(-2a)，+infty))，单减区间为((1，ln(-2a)))；
当(a=-cfrac{e}{2})时，只有单增区间为((-infty，+infty))；
当(-cfrac{e}{2}<a<0)时，单增区间为((-infty，ln(-2a)))和((1，+infty))，单减区间为((ln(-2a)，1))；
当(age 0)时，单减区间为((-infty，1))，单增区间为((1，+infty))；
导数中用图像判断单调性
- 用图像确定(f'(x))的正负，确定(f(x))的单调性，
分析：由图可知，
当(x<-1)时，(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；
当(-1<x<0)时，(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；
当(0<x<1)时，(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；
当(x>1)时，(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；
从而可知当(x<-1)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；
当(-1<x<1)时，(f'(x)<0)，(f(x)searrow)；
当(x>1)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；故选C。
充要条件中
分析：当(a=0)时，即使(a-b)为正，为负，为零，都有((a-b)a^2geqslant 0)，即由((a-b)a^2geqslant 0)不能推出(ageqslant b)，即充分性不成立；
当(ageqslant b)时，即(a-bgeqslant 0)，由于(a^2geqslant 0)，则有((a-b)a^2geqslant 0)，故必要性成立；故选(B);
线性规划中
-
点((x_1,y_1))和点((x_2,y_2))在直线(Ax+By+C=0)的同侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)>0)；在异侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)<0)；
-
不等式((x-2y+1)(x+y-3)leqslant 0)在坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)；