前言
通俗的理解相关点法，比如某人借助其父亲的人脉，融入到其交际圈中，就是相关点法应用的一个例子。
相关点法
用相关点法求轨迹方程的情形：
①某个动点(P)在已知方程的曲线上移动；②另一个动点(M)随(P)的变化而变化；③在变化过程中，(P)和(M)满足一定的规律；注意相关点法可以使用在直角坐标系中，也可以使用在极坐标系中，当然也可以使用在参数方程中；
相关点法的基本步骤：
将所求动点(P)的坐标设为((x，y))，令一个已知动点(Q)的坐标设为(Q(x_0，y_0))，在寻找(P)和(Q)之间的关系，把(x_0)，(y_0)用(x)，(y)表示，然后代入点(Q)满足的方程中，整理得到的即为待求曲线的轨迹方程。
案例理解
分析：将曲线(C_1)的极坐标方程化为直角坐标方程为(x^2+y^2-4y=12)，即(x^2+(y-2)^2=16),
设圆上的动点为(P(x'，y'))，线段(AP)的中点为点(Q(x，y))，
由(Q)为(AP)的中点，得到(egin{cases}x'=2x-6\y'=2yend{cases})，代入(x^2+y^2-4y=12)，
即((2x-6)^2+(2y)^2-4(2y)=12)，整理为((x-3)^2+(y-1)^2=4)；
即点(Q)的轨迹(C_2)的直角坐标方程为((x-3)^2+(y-1)^2=4)；
典例剖析
（1）求直线(l)被曲线(C)截得的弦长(|OA|)。
分析：可以从以下四个角度思考，
①利用两点间的距离公式；
【法1】直线(l)的普通方程为(y=sqrt{3}x)，圆(C)的普通方程为(x^2+(y-2)^2=2^2)，
联立消掉(y)，得到(x^2-sqrt{3}x=0)，
解得，(left{egin{array}{l}{x_1=0}\{y_1=0}end{array} ight.)，或(left{egin{array}{l}{x_2=sqrt{3}}\{y_2=3}end{array} ight.)，
由两点间距离公式得到(|OA|=2sqrt{3})。
②直线和圆相交求弦长的几何方法；
【法2】直线为(sqrt{3}x-y=0)，圆心为(C(0，2))，
则圆心到直线的距离为(d=cfrac{|0-2|}{2}=1)，又半径为(2)，
故半弦长为(sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3})，则弦长(|OA|=2sqrt{3})。
③直线的参数方程法；
【法3】由于直线的普通方程为(y=sqrt{3}x)，经过点((0，0))，斜率(k=sqrt{3})，倾斜角( heta=cfrac{pi}{3});
直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=0+cfrac{1}{2}t}\{y=0+cfrac{sqrt{3}}{2}t}end{array} ight.(t为参数))，
将其代入圆的普通方程(x^2+(y-2)^2=2^2)，
整理得到(t^2-2sqrt{3}t=0)，
解得(t_1=0)，(t_2=2sqrt{3})，
则弦长(|OA|=|t_1-t_2|=2sqrt{3})。
解后反思：直线(l)的参数方程还可以为(left{egin{array}{l}{x=1+cfrac{1}{2}t}\{y=sqrt{3}+cfrac{sqrt{3}}{2}t}end{array} ight.(t为参数))，得到(t^2+(4-2sqrt{3})t+4-4sqrt{3}=0)，
同理可得，(|OA|=|t_1-t_2|=2sqrt{3});
④极坐标法；
【法4】直线的极坐标方程为( heta=cfrac{pi}{3})，圆的极坐标方程为( ho=4sin heta)，
二者联立，得到( ho=4sincfrac{pi}{3}=2sqrt{3})。即所求弦长(|OA|=2sqrt{3})。
解后反思：本题目中直线(l)的极坐标方程可以是( ho sin( heta-cfrac{pi}{3})=0)，也可以是( heta=cfrac{pi}{3})，说明同样的直线(l)的极坐标方程可能不唯一；
（2）从极点做曲线(C)的弦，求弦的中点(M)轨迹的极坐标方程。
分析：可以从以下三个角度思考：
①利用平面直角坐标系下的中点公式；
【法1】在平面直角坐标系中，设过坐标原点的直线和圆相交于点(P(x_0，y_0))，则所得弦的中点坐标为(M(x，y))
则(left{egin{array}{l}{2x=x_0}\{2y=y_0}end{array} ight.)，又点(P(x_0，y_0))在圆(x^2+(y-2)^2=2^2)上，
代入整理得到普通方程为(x^2+(y-1)^2=1)，
即其极坐标方程为( ho=2sin heta)，其中( hetain(0，pi))，而不是( hetain[0，pi))，以保证弦的存在。
②利用圆的参数方程；
由于圆上任意一动点(P)的坐标(P(2cos heta，2+2sin heta))，则弦的中点(M(cos heta，1+sin heta))，
即点(M)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cos heta}\{y=1+sin heta}end{array} ight.( heta为参数))，
消去参数( heta)，得到普通方程为(x^2+(y-1)^2=1)，
即其极坐标方程为( ho=2sin heta)，其中( hetain(0，pi))，而不是( hetain[0，pi))，以保证弦的存在。
③利用极坐标法；
【法3】曲线(C)的极坐标方程为( ho=4sin heta)，过极点的直线的极坐标方程为( heta=alpha)，
设直线和曲线(C)的交点的极坐标为(( ho_1，alpha))，则弦的中点(M)的极坐标为(( ho，alpha))，
由题目可知，( ho_1=2 ho)，代入曲线(C)的极坐标方程为(2 ho=4sinalpha)，
得到( ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。
故弦的中点(M)轨迹的极坐标方程为( ho=2sinalpha)，其中(alphain(0，pi))。
说明：由于弦的中点要存在，则必须保证( ho eq 0)，即原来的(alphain[0，pi))必须变为(alphain(0，pi))。
对应练习
提示：设点(P(x，y))，点(Q(x_1，y_1))， 点(F_1(-sqrt{6}，0))，
由(overrightarrow{OP}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{OF_1}+overrightarrow{OQ}))，则可知点(P)为线段(F_1Q)的中点，
得到(left{egin{array}{l}{2x=-sqrt{6}+x_1}\{2y=y_1,}end{array} ight.quad)，变形得到(left{egin{array}{l}{x_1=2x+sqrt{6}}\{y_1=2y,}end{array} ight.)
将其代入(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{10}=1)，得到(cfrac{(2x+sqrt{6})^2}{16}+cfrac{2y^2}{5}=1).
即点(P)的轨迹方程为(cfrac{(2x+sqrt{6})^2}{16}+cfrac{2y^2}{5}=1)。
分析：由双曲线的方程可得(a=3)，(b=1)，(c=sqrt{10})，则(F_{1}(-sqrt{10}, 0))，(F_{2}(sqrt{10}, 0))
设点(P(m, n))，则(cfrac{m^{2}}{9}-n^{2}=1)，设( riangle PF_1F_2)的重心(G(x, y))
则由三角形的重心坐标公式可得(x=cfrac{m+sqrt{10}-sqrt{10}}{3})，(y=cfrac{n+0+0}{3})
可得(m=3x)，(n=3y)，代入双曲线(cfrac{x^2}{9}-y^2=1)方程，
化简可得(x^{2}-9 y^{2}=1)，故( riangle PF_{1}F_{2})的重心(G)的轨迹方程是(x^{2}-9 y^{2}=1quad(y eq 0)) [1]
备注：三角形( riangle ABC)的重心(M)的坐标公式：若三角形的三个顶点坐标分别为(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，(C(x_3，y_3))，则其重心(M(x，y))满足(x=cfrac{x_1+x_2+x_3}{3})，(y=cfrac{y_1+y_2+y_3}{3})。相关重心坐标公式
相关应用
法1：相关点法，设函数(y=ln x)图像上的任意一点坐标(P(x',y'))，其关于直线(x=1)的对称点的坐标为(Q(x,y))，
则有(left{egin{array}{l}{cfrac{x+x'}{2}=1}\{y=y'}end{array} ight.quad) 即(left{egin{array}{l}{x'=2-x}\{y'=y}end{array} ight.)
由于点(P(x',y'))在函数(y=ln x)图像上，将其代入，得到(y=ln(2-x))，故选(B).
法2：利用特殊点法，函数(y=ln x)过定点((1,0))，而点((1,0))关于直线(x=1)对称的点还是点((1,0))，只有(y=ln (2-x))过此点，故选项(B)正确.
法3：利用图像变换法，由于(y=lnx)关于(y)轴对称的函数为(y=ln(-x))，将(y=ln(-x))向右平移两个单位得到(y=ln[-(x-2)]=ln(2-x))，即得到所求函数，故选(B).
解后反思：法1为这类题目的通用方法，尤其是对称直线变为(2x-y+3=0)型的直线时，更能显示相关点法的强大作用。
从形上刻画：向左平移(cfrac{pi}{4})个单位得到；
从数上刻画：用(x+cfrac{pi}{4}Rightarrow x)，
原因分析：相位变换即左右平移的本质是用(x+phi)替换(x)后整理得到的；
故由(2(x+phi)-cfrac{pi}{3}=2x+2phi-cfrac{pi}{3}=2x+cfrac{pi}{6})，
解得(phi=cfrac{pi}{4})，[左加右减的口诀是用在(x+phi=x+cfrac{pi}{4})上]
即用(x+cfrac{pi}{4})替换(x)，故向左平移(cfrac{pi}{4})个单位得到；[1:1]
从形上刻画：横坐标缩短为原来的(cfrac{1}{3})倍得到；
从数上刻画：用(3xRightarrow x)，
原因分析：周期变换即横向伸缩的本质是用(omega x)替换(x)后整理得到的；
(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))的原有横坐标系数(omega_0=2)，
显然(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))是表达式(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))中的(x)被(3x)替换后得到的，[2]
(y=sin[2 imes (3x)-cfrac{pi}{3}]=sin(6x-cfrac{pi}{3}))，
分析：把函数(y=3^x)的图像沿(x)轴向左平移(m(m>0))个单位长度，
得到(y=3^{x+m}=3^x imes 3^m=f(x))，又题目已知(f(x)=10 imes 3^x)
故(3^m=10)，则(f(m)=10 imes 3^m=10 imes 10=100)，故选(D)。
用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为(P(x,y))，
变换后函数图像上对应的点的坐标为(P'(x_1,y_1))；
则其施行的变换公式为(left{egin{array}{l}{x_1=x+phi}\{y_1=y}end{array} ight.)，即其逆变换公式为(left{egin{array}{l}{x=x_1-phi}\{y=y_1}end{array} ight.)，
将其代入已知的函数解析式，得到(y_1=sin[2(x_1-phi)-cfrac{pi}{3}])，整理为(y_1=sin(2x_1-2phi-cfrac{pi}{3}))，
变换解释后我们往往就会将下标去掉，得到(y=sin(2x-2phi-cfrac{pi}{3}))，其应该等价于(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))，
于是解得(phi=-cfrac{pi}{4})，故我们是用(x_1-(-cfrac{pi}{4})=x_1+cfrac{pi}{4})替换的原解析式中的(x)，
由于是(+)，故应该向左平移(cfrac{pi}{4})个单位； ↩︎ ↩︎用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为(P(x,y))，
变换后函数图像上对应的点的坐标为(P'(x_1,y_1))；
则其施行的变换公式为(left{egin{array}{l}{x_1=cfrac{1}{3}x}\{y_1=y}end{array} ight.)，即其逆变换公式为(left{egin{array}{l}{x=3x_1}\{y=y_1}end{array} ight.)，
将其代入已知的函数解析式，得到(y_1=sin[2(3x_1)-cfrac{pi}{3}])，整理为(y_1=sin(6x_1-cfrac{pi}{3}))，
变换解释后我们往往就会将下标去掉，得到(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))；
故我们是用(3x_1)替换的原解析式中的单独的(x)，注意不是替换(2x)这个整体， ↩︎