前言
求圆锥曲线方程，其本质是求解(a)，(b)，或(p)的值，所以常常直接求解其值，或者利用题目给定的等量关系建立方程组求解，利用等量关系时，务必记住使用圆锥曲线的定义。
定义式
- 椭圆
文字语言：平面内到两个定点(F_1)，(F_2)的距离之和等于常数((>|F_1F_2|))的动点(P)的集合称为椭圆，即(|PF_1|)(+|PF_2|)(=2a)。
数学语言：
图形语言：
- 双曲线
文字语言：
数学语言：
图形语言：
- 抛物线
文字语言：
数学语言：
图形语言：
典例剖析
分析：容易知道顶点(C)的轨迹是(c=4)，(a=5)，(b=3)的焦点在(x)轴的椭圆，即(cfrac{x^2}{25}+cfrac{y^2}{9}=1)，
但是由于需要确保( riangle ABC)的存在，故必须限制(y eq 0)，
故顶点(C)的轨迹方程为(cfrac{x^2}{25}+cfrac{y^2}{9}=1(y eq 0)).
分析：对双曲线而言，(a^2=4)，(b^2=12)，则(c^2=a^2+b^2=16)，故(c=4)，其焦点为((pm 4，0))，故椭圆的一组顶点坐标为((pm 4，0))；
双曲线的顶点坐标为((pm 2，0))，故椭圆的焦点坐标为((pm 2，0))，故椭圆的(c=2)，(a=4)，故(b^2=12)，则椭圆的方程为(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{12}=1)，故选(B)
分析：如图所示，可知(a=2)，
由双曲线的定义可知，(|AF_2|-|AF_1|=2a=4)，(|BF_2|-|BF_1|=2a=4)，
则(|AF_2|=|AF_1|+4)，(|BF_2|=|BF_1|+4)，
又由于(|AF_2|+|BF_2|ge 13)，即(|AF_1|+4+|BF_1|+4ge 13)，
即(|AF_1|+|BF_1|ge 5)，即(|AB|ge 5)，
又由于过焦点的弦中，只有通径最小，故(AB)为通径，
则可知(A(-c，cfrac{5}{2}))，
由(left{egin{array}{l}{cfrac{x^2}{4}-cfrac{y^2}{b^2}=1}\{x=-c}end{array} ight.)，以及(y=cfrac{5}{2})，
代入得到(cfrac{c^2}{4}-1=cfrac{y^2}{b^2})，即变形得到(b^2cdot cfrac{c^2-4}{4}=y^2=cfrac{25}{4})，
即(b^2(c^2-4)=25)，即((c^2-4)(c^2-4)=25)，即(c^2-4=5)，
故(c=3)，又(a=2)，则(e=cfrac{c}{a}=cfrac{3}{2})，故选(A)。
分析：如图所示，
由题可知，焦点坐标为((cfrac{m}{4}，0))，准线为(x=-cfrac{m}{4})，
故焦点(C)到准线的距离为(cfrac{m}{2})；
又由于(OA=OB=2sqrt{2})，(S_{ riangle OAB}=4)，
则(S_{ riangle OAB}=cfrac{1}{2} imes 2sqrt{2} imes 2sqrt{2} imes sinangle AOB=4)，
则(sinangle AOB=1)，即(angle AOB=cfrac{pi}{2})，
故( riangle OAB)为等腰直角三角形，则(A(2，2))，
代入(y^2=mx)求得，(m=2)，
故焦点(C)到准线的距离为(cfrac{m}{2}=1)；故选(D)。
分析：由已知得，圆(M)的圆心为(M(-1，0))，半径(r_1=1)；圆(N)的圆心为(N(1，0))，半径(r_2=3)；
设圆(P)的圆心为(P(x，y))，半径为(R)；由于圆(P)与圆(M)外切并且与圆(N)内切，
所以(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4)，由[椭圆的定义]可知，曲线(C)是以(M)，(N)为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为(sqrt{3})的椭圆(左顶点除外)，
其轨迹方程为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1(x eq -2))。
分析：由题可知，(a=3)，如图所示，由椭圆的定义可知(|AF_1|+|AF_2|=2a)，(|BF_1|+|BF_2|=2a)，
故(Delta ABF_1)的周长为(|AF_1|+|BF_1|+|AB|=|AF_1|+|BF_1|+|AF_2|+|BF_2|=4a=12)。
分析：自行做出示意图，由图可知，在(RtDelta PF_1F_2)中，(angle F_1PF_2=90^{circ})，(angle PF_2F_1=60^{circ})，(F_1F_2=2c)，故(PF_2=c)，(PF_1=sqrt{3}c)，
由椭圆的定义可知，(|PF_1|+|PF_2|=2a)，即(c+sqrt{3}c=2a)，解得(e=cfrac{c}{a}=cfrac{2}{sqrt{3}+1}=sqrt{3}-1)，故选D。
【建议】用圆锥曲线的定义解题，是高考中的一个高频考查方式。
分析：由双曲线(C：cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1)可知其渐进线为(y=cfrac{b}{a}x)，由已知渐近线方程为(y=cfrac{sqrt{5}}{2}x)，
则可设(a=2k)，(b=sqrt{5}k(k>0))，则(c=3k)，又由椭圆的(c=3)，可可知(3k=3)，即(k=1)，故双曲线的(a=2)，(b=sqrt{5})，则其方程为(cfrac{x^2}{4}-cfrac{y^2}{5}=1)，故选(B)。
法1：点差法，做出如下示意图，连结(MH)，(H)为焦点弦(AB)的中点，
由于( riangle AMB)为直角三角形，(H)为(AB)的中点，则(MH=cfrac{1}{2}AB)，
又由于(AB=AF+BF=AP+BQ)，则(MH=cfrac{1}{2}AB=cfrac{1}{2}(AP+BQ))，
故(MH)为直角梯形的中位线，则(MH//x)轴，
设(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))，则有(y_1^2=4x_1) ①，(y_2^2=4x_2) ②，
①-②得到，(y_1^2-y_2^2=4(x_1-x_2))，即((y_1+y_2)(y_1-y_2)=4(x_1-x_2))，
则有(cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=cfrac{4}{y_1+y_2})，即(k=cfrac{4}{y_1+y_2})，
又由于(MH//x)轴，(M(-1，1))，则(H)点的纵坐标为1，即(cfrac{y_1+y_2}{2}=1)，则(y_1+y_2=2)，代入上式，
得到(k=cfrac{4}{y_1+y_2}=2).
法2：向量法，设直线(AB：y=k(x-1))，由于点(A，B)都在抛物线上，故设(A(4t_1^2，4t_1))，(B(4t_2^2，4t_2))，
联立直线和抛物线，得到(left{egin{array}{l}{y=k(x-1)}\{y^2=4x}end{array} ight.)，消(x)得到，
(y^2-cfrac{4}{k}y-4=0)，则由韦达定理可知，(4t_1+4t_2=cfrac{4}{k})，(4t_1cdot 4t_2=-4)，
即(t_1+t_2=cfrac{1}{k})，(t_1cdot t_2=-cfrac{1}{4})，
又(overrightarrow{MA}=(4t_1^2+1，4t_1-1))，(overrightarrow{MB}=(4t_2^2+1，4t_2-1))，(angle AMB=90^{circ})，
则(overrightarrow{MA}cdot overrightarrow{MB}=0)，即((4t_1^2+1)(4t_2^2+1)+(4t_1-1)(4t_2-1)=0)，
打开整理得到，(16(t_1t_2)^2+4(t_1^2+t_2^2)+1+16t_1t_2-4(t_1+t_2)+1=0)，
代入整理得到，(cfrac{4}{k^2}-cfrac{4}{k}+1=0)，即((cfrac{2}{k}-1)^2=0)，解得(k=2)。
分析：由题意可知，(|PQ|=|PD|)，但是用这个不好建立轨迹方程，或者不能有效的和抛物线的定义建立联系，
故等价转化为(|PA|=|PB|)，且其模型为(y^2=2px)。
这样就可以理解为平面内一个动点(P)到一个定点(A)的距离等于其到定直线(x=-2)的距离。
由抛物线的定义可知，(-cfrac{p}{2}=-2)，即(p=4)，故(y^2=2 imes 4x=8x)，故选(A)。
- 注意：抛物线的定义是高考考查时的高频考点。
【法1】：常规方法，利用两点间距离公式，由于(2p=3)，则(cfrac{p}{2}=cfrac{3}{4})，故焦点(F(cfrac{3}{4}，0))，又斜率为(k=cfrac{sqrt{3}}{3})，
则直线(AB)的方程为(y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4}))，
联立直线(AB)和抛物线方程，得到(left{egin{array}{l}{y^2=3x}\{y=cfrac{sqrt{3}}{3}(x-cfrac{3}{4})}end{array} ight.)，
消(y)得到(16x^2-24 imes7x+9=0)，设点(A(x_1，y_1))，点(B(x_2，y_2))，
则(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(x_1x_2=cfrac{9}{16})，
故(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)
(=sqrt{1+k^2}cdotsqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12)。
【法2】：利用直线(AB)的参数方程的参数的几何意义，
直线(AB)的参数方程为(egin{cases}x=cfrac{3}{4}+cfrac{sqrt{3}}{2}t\y=0+cfrac{1}{2}tend{cases}(t为参数))，将其代入(y^2=3x)中，
整理得到(t^2-6sqrt{3}t-9=0)，设(A)，(B)对应的参数分别为(t_1)，(t_2)，
则(Delta>0)，且有(t_1+t_2=6sqrt{3})，(t_1t_2=-9)，
故(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{36 imes3-4 imes(-9)}=12)。
【法3】：利用抛物线的定义可知，(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+cfrac{p}{2}+x_2+cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p)，
故由法1中，得到(x_1+x_2=cfrac{24 imes7}{16}=cfrac{21}{2})，(p=cfrac{3}{2})，即(|AB|=x_1+x_2+p=12)。
法4：利用抛物线的焦点弦长公式：(|AB|=cfrac{2p}{sin^2alpha})，
则(|AB|=cfrac{2 imes cfrac{3}{2}}{(cfrac{1}{2})^2}=12)。
分析：如图所示，由题可知，(|OF|=|OK|=2)，(|KF|=4)，由抛物线定义可知，(|AF|=|AB|)，则(|AK|=sqrt{2}|AB|)，
故可知(angle AKF=45^{circ})，在( riangle AKF)中，(|KF|=4)，设(|AF|=x)，则(|AK|=sqrt{2}x)，
由余弦定理可知，(|AF|=4)，其高为(|KB|=4)，故(S_{ riangle AFK}=cfrac{1}{2} imes 4 imes 4=8)，故选(C)。
分析：由三角形面积公式可知，(S_{ riangle AF_1F_2}=cfrac{1}{2}(|AF_1|+|AF_2|+|F_1F_2|)cdot r=1)，
即(cfrac{1}{2}(2a+2c)(sqrt{2}-1)=1)，化简得到(a+c=sqrt{2}+1)①；
又(cfrac{c}{a}=cfrac{sqrt{2}}{2})②，两式联立，解得(c=1)，(a=sqrt{2})，则(b^2=a^2-c^2=1)，
故椭圆(C)的方程为(cfrac{x^2}{2}+y^2=1)；
分析：原点(O)到直线(x-y+sqrt{3}=0)的距离为(d=cfrac{|sqrt{3}|}{sqrt{1^2+1^2}}=cfrac{sqrt{6}}{2})，故(4d=2sqrt{6})，
由椭圆的定义可知，曲线(C)为一椭圆，其长轴长为(2sqrt{6})，焦点(F_1(-sqrt{5}，0))，(F_2(sqrt{5}，0))，
则短轴长为(2sqrt{(sqrt{6})^2-(sqrt{5})^2}=2)，所以曲线(C)的方程为(cfrac{x^2}{6}+y^2=1).