前言
一、临界状态
二、具体应用
- 【封闭曲线---圆】
点(p(x_0,y_0))在圆(x^2+y^2=1)上,则(x_0^2+y_0^2=1);
点(p(x_0,y_0))在圆(x^2+y^2=1)内部,则(x_0^2+y_0^2<1);
点(p(x_0,y_0))在圆(x^2+y^2=1)外部,则(x_0^2+y_0^2>1);
- 【封闭曲线---椭圆】
点(p(x_0,y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)上,则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}=1);
点(p(x_0,y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)内部,则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}<1);
点(p(x_0,y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)外部,则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}>1);
- 【非封闭曲线---直线】
点(p(x_0,y_0))在直线(ax+by+c=0)上,则(ax_0+by_0+c=0);
点(p(x_0,y_0))在直线(ax+by+c=0)外(或两侧),则(ax_0+by_0+c eq 0(>0或<0));
- 【非封闭曲线---曲线】
点(p(x_0,y_0))在曲线(y^2=2px)上,则(y_0^2=2px_0);
点(p(x_0,y_0))在曲线(y^2=2px)外(或两侧),则(y_0^2 eq 2px_0(>2px_0或<2px_0));
三、典例剖析
已知正棱锥(S-ABC)的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点(P),使得(V_{P-ABC}<cfrac{1}{2}V_{S-ABC})的概率是【】
分析:做出正棱锥(S-ABC)如图所示,设其高线为(SO=h),设三棱锥(P-ABC)的高为(h_1),
先将不等关系改写为相等关系,即(V_{P-ABC}=cfrac{1}{2}V_{S-ABC}),即寻找临界状态下的点(P)的位置。
则由(cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h=cfrac{1}{2}cdot cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h_1),得到(h_1=cfrac{1}{2}h),即处于临界状态时,点(P)应该在正棱锥(S-ABC)的中截面(MND)内,
然后我们就能很容易的分析出要满足(V_{P-ABC}<cfrac{1}{2}V_{S-ABC}),则点(P)应该在正三棱台(NDM-ABC)内部,
故所求概率为(P=1-cfrac{V_{S-MND}}{V_{S-ABC}}=1-cfrac{frac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 2^2cdot h_1}{frac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 4^2cdot h}=1-cfrac{1}{8}=cfrac{7}{8}),故选(B)。
不等关系变化为相等关系。
分析:点(P)的所有结果用正方体的体积来度量,故应该是体积型几何概型。
先考虑临界状态,当点(P)到点(O)的距离等于1时,点(P)在球心为(O)的半球面上,
则当点(P)到点(O)的距离大于1时,点(P)在球心为(O)的半球外部且在正方体的内部,
故所求(P=cfrac{2^3-cfrac{1}{2} imes cfrac{4}{3} imes pi imes 1^3}{2^3}=1-cfrac{pi}{12})。
反思总结:临界状态定界,不等关系定域,这和线性规划中的直线定界,特殊点定域是相通的。
定义在(R)上的函数(y=f(x)),满足(f(3-x)=f(x)),(f'(x))为函数(f(x))的导函数,且((x-cfrac{3}{2})cdot f'(x)<0),若(x_1<x_2),且(x_1+x_2>3),则有【】
分析:由((x-cfrac{3}{2})cdot f'(x)<0),得到当(x>cfrac{3}{2})时,必有(f'(x)<0),当(x<cfrac{3}{2})时,必有(f'(x)>0),
即(xin (cfrac{3}{2},+infty))时,(f'(x)<0),函数(f(x))单调递减,
(xin (-infty,cfrac{3}{2}))时,(f'(x)>0),函数(f(x))单调递增,
又由(f(3-x)=f(x))得到函数的对称轴为(x=cfrac{3}{2}),
在利用(x_1<x_2),(x_1+x_2>3)这一条件时,可以先考虑其临界状态以降低难度,
令(x_1+x_2=3),则(x_1)和(x_2)到对称轴等距离,则必有(f(x_1)=f(x_2)),
那么当(x_1<x_2),(x_1+x_2>3)时,必有(x_1),(x_2)分布在对称轴的两侧,且(x_2)距离对称轴更远,
故有(f(x_1)>f(x_2)),故选(A)。
分析:如果想不清楚,那么我们将原题目改为((|x|- 1)^2+(|y|-1)^2=4),故其临界状态为圆上;而原题中是((|x|- 1)^2+(|y|-1)^2leq 4),故应该是与圆的内部有关的。又由于题目中含有绝对值,故需要分类讨论去掉绝对值符号,这样问题就转化为可行域问题了,当然是非线性的可行域。
想清楚这些后,我们就能顺利做出如下的转化:
原不等式(Leftrightarrow)
(left{egin{array}{l}{xge 0}\{yge 0}\{(x-1)^2+(y-1)^2leq 4}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{xge 0}\{y< 0}\{(x-1)^2+(-y-1)^2leq 4}end{array} ight.)
或(left{egin{array}{l}{x< 0}\{yge 0}\{(-x-1)^2+(y-1)^2leq 4}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{x< 0}\{y< 0}\{(-x-1)^2+(-y-1)^2leq 4}end{array} ight.)
这样即使用手工作图,我们也能做出来如下的图形来的。
分析:为便于计算,设正六边形(ABCDEF)的边长为(2),则(FN=1),(NE=sqrt{3});接下来思考反射光线和线段(BC)相交的临界状态;
反射光线与线段(BC)相交的两个临界状态其一为过点(B),其二为过点(C);
当反射光线经过点(B)时,入射点为(G),设(EG=x),则由(angle NGM=angle MGB),则(tanangle NGM=cfrac{x}{sqrt{3}}),(tanangle MGB=cfrac{2-x}{2sqrt{3}}),
则有(cfrac{x}{sqrt{3}}=cfrac{2-x}{2sqrt{3}}),即(cfrac{2-x}{x}=cfrac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}),利用和比性质得到,(cfrac{2-x+x}{x}=cfrac{2sqrt{3}+sqrt{3}}{sqrt{3}}),
即(cfrac{2}{x}=cfrac{3sqrt{3}}{sqrt{3}}),则(x=cfrac{2}{3});
当反射光线经过点(C)时,入射点为(G),设(EG=y),则由(angle NGM=angle MGC),则(tanangle NGM=cfrac{y}{sqrt{3}}),(tanangle MGC=cfrac{3-y}{sqrt{3}}),
即(cfrac{y}{sqrt{3}}=cfrac{3-y}{sqrt{3}}),解得(y=cfrac{3}{2});
故反射光线和线段(BC)相交时对应到线段(DE)上的长度为(cfrac{3}{2}-cfrac{2}{3}=cfrac{5}{6});由长度型几何概型可知,所求概率为(P=cfrac{frac{5}{6}}{2}=cfrac{5}{12})。
分析:已知函数(f(x)=x^2lnx+kx-1)有零点,即方程(f(x)=0)在定义域((0,+infty))上有解,
分离参数得到(k=cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+cfrac{1}{x}),令(h(x)=xlnx+cfrac{1}{x}),
则题目转化为(k=h(x))在((0,+infty))上有解,故要么从数的角度求函数(h(x))的值域;要么求其单调性,做函数的图像,从形的角度用数形结合求解。
以下用导数求函数(h(x))的单调性。(h'(x)=lnx+1-cfrac{1}{x^2}),
此时需要注意,导函数中出现了(lnx),故我们将上述的函数人为的分为两个部分,(y=lnx)和(y=1-cfrac{1}{x^2}),先令(lnx=0)得到(x=1),在将(x=1)代入(y=1-cfrac{1}{x^2})验证也是其零点,说明这两个函数的零点重合,故接下来我们将定义域分为((0,1))和((1,+infty))两部分分类讨论即可:
则(0<x<1)时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减,(x>1)时,(h'(x)>0),(f(x))单调递增,则(h(x)_{min}=h(1)=1)。
即(h(x))的值域为([1,+infty)),故(kge 1),即(kin [1,+infty))。
或利用单调性得到函数(h(x))的图像如下,
再利用函数(y=k)和函数(y=h(x))的图像有交点,得到(k)的取值范围为(kin [1,+infty))。
分析:两个函数的图像只有一个交点,即方程(x^2=a^x)只有一个根,
法1:利用两个函数的图像,尤其是(y=a^x)的动态图形来说明问题;曲线和曲线相切;
当(a>1)时,函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第一象限相切的情形,如下图所示;
以下重点求解相切时的参数(a)的值;设两条曲线相切时的切点为(P(x_0,y_0)),
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知,$x_0^2=a^{x_0} ④ $,代入①得到,(2x_0=x_0^2cdot lna),化简得到(2=x_0cdot lna ⑤),
又由④两边取对数得到,(2lnx_0=x_0cdot lna⑥),由⑤⑥得到,(2lnx_0=2),解得(x_0=e),代入②得到(y_0=e^2),
再代入③得到,(e^2=a^e),两边取对数得到,(lna=cfrac{2}{e}),则(a=e^{frac{2}{e}}),
即两条曲线相切时的(a=e^{frac{2}{e}}),则(a>e^{frac{2}{e}})时,两条曲线必然只有一个交点。
当(0<a<1)时,函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第二象限相切的情形,如下图所示;
以下重点求解相切时的参数(a)的值;设两条曲线相切时的切点为(P(x_0,y_0)),
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知,$x_0^2=a^{x_0} ④ $,代入①得到,(2x_0=x_0^2cdot lna),化简得到(2=x_0cdot lna ⑤),
又由④两边取对数得到,(2ln|x_0|=x_0cdot lna⑥),由⑤⑥得到,(2ln|x_0|=2),解得(x_0=-e),代入②得到(y_0=e^2),
再代入③得到,(e^2=a^{-e}),两边取对数得到,(-lna=cfrac{2}{e}),则(a=e^{-frac{2}{e}}),
即两条曲线相切时的(a=e^{-frac{2}{e}}),则(0<a<e^{-frac{2}{e}})时,两条曲线必然只有一个交点。
综上所述,(ain(0,e^{-frac{2}{e}})),或者(ain (e^{frac{2}{e}},+infty)),故选(C).
法2:分离参数得到,(lnx^2=xlna),再变形为(lna=cfrac{2ln|x|}{x}),令(h(x)=cfrac{2ln|x|}{x}),重点是作其图像;
由于(h(x))是奇函数,故当(x>0)时,(h(x)=cfrac{2lnx}{x}),以下用导数研究其单调性;
(h'(x)=cdots=cfrac{2(1-lnx)}{x^2}),则(xin (0,e))时,(h'(x)>0),(h(x))单调递增;则(xin (e,+infty))时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减;又(h(e)=cfrac{2}{e}),故可以做出(x>0)时的(h(x))图像以及(x<0)时的(h(x))图像,如下图所示;
由图可知,(lna>cfrac{2}{e})或(lna<-cfrac{2}{e})时,两个函数图像仅有一个交点,
解得(ain(0,e^{-frac{2}{e}})),或者(ain (e^{frac{2}{e}},+infty)),故选(C).