HDU 6623"Minimal Power of Prime"（数学）

•题意

　　给你一个大于 1 的正整数 n；

　　它可以分解成不同的质因子的幂的乘积的形式，问这些质因子的幂中，最小的幂是多少。

•题解

　　定义 $ans$ 表示最终答案；

　　①如果 $ans ge 5$：

　　　　那么，肯定有 $n=p^{ans} , p le sqrt[{ans}]{n}$，也就是说 $ p le 10^{frac{18}{5}}$；

　　所以，我们可以提前预处理出 $[1,10000]$ 内的素数，筛出 $n$ 中属于 $[1,10000]$ 内的质因子；

　　如果在这个过程中出现 $n=1$ 或者 $ans=1$，那么直接返回 $ans$ 即可；

　　如果筛完 $[1,10000]$ 内的素数后，$n > 1$，那么，就有如下情况：

　　　　（1）存在质数 p，满足 p > 10000 并且 n 只能分解出一个 p，此时应输出 1；

　　　　（2）存在质数 p,q，满足 p > 10000 , q > 10000，有 $n = p^2$ 或 $n = p^2 cdot q^2$，对于这种情况，$n$ 肯定是个完全平方数；

　　　　（3）存在质数 p，满足 p > 10000，并且有 $n=p^3$，这种情况下，$n$ 肯定是个立方数；

　　　　（4）存在质数 p，满足 p > 10000，并且有 $n=p^4$；

　　如果情况（1）成立，那么，情况（2）（3）（4）肯定不成立，但是情况（1）可能不好直接判断；

　　那么，我们可以先判断情况（4）（2）（3）是否成立，如果不成立，那么（1）肯定成立；

　　疑惑（1）：如果 $(sqrt[4]{n})^4=n$，那为什么一定有 $sqrt[4]{n}$ 为素数呢？

　　　　定义 $x=sqrt[4]{n}$，那么有 $x le 10^{frac{18}{4}}$；

　　　　如果 $x$ 为合数，那么势必存在某个大于 1 因子 f，$f le sqrt{x} < 10^4$；

　　　　但，来到此步的条件是 $n$ 中所有属于 $[1,10000]$ 内的质因子已被筛走，所以，是不存满足条件的 $f$ 的；

　　　所以说，$x$ 一定是个素数；

　　疑惑（2）：为什么要先判断情况（4）再判断情况（2）：

　　　　因为满足情况（4）肯定满足情况（2），但是此时满足情况（2）的因子就不是质因子了；

•Code

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 5 const int N=1e4;
 6 
 7 ll n;
 8 int cnt;
 9 int prime[N];
10 bool isPrime[N+50];
11 
12 void Prime()
13 {
14     cnt=0;
15     mem(isPrime,true);
16     isPrime[1]=false;
17 
18     for(int i=2;i <= N;++i)
19     {
20         if(isPrime[i])
21             prime[++cnt]=i;
22 
23         int x;
24         for(int j=1;j <= cnt && (x=i*prime[j]) <= N;++j)
25         {
26             isPrime[x]=false;
27 
28             if(i%prime[j] == 0)
29                 break;
30         }
31     }
32 }
33 bool Calc(ll x)
34 {
35     int l=1,r=(int)1e6+1;
36     while(r-l > 1)
37     {
38         ll mid=l+((r-l)>>1);
39         if(mid*mid*mid > x)
40             r=mid;
41         else
42             l=mid;
43 
44         if(mid*mid*mid == x)
45             return true;
46     }
47     return false;
48 }
49 int Solve()
50 {
51     int ans=100;
52     for(int i=1;i <= cnt;++i)
53     {
54         int k=0;
55         while(n%prime[i] == 0)
56         {
57             k++;
58             n /= prime[i];
59         }
60         if(k)
61             ans=min(ans,k);
62 
63         if(n == 1 || ans == 1)
64             return ans;
65     }
66 
67     ll x=sqrt(sqrt(n));
68     ll y=sqrt(n);
69 
70     if(x*x*x*x == n)
71         ans=min(ans,4);
72     else if(y*y == n)
73         ans=min(ans,2);
74     else if(Calc(n))
75         ans=min(ans,3);
76     else
77         ans=1;
78 
79     return ans;
80 }
81 int main()
82 {
83     Prime();
84 
85     int T;
86     scanf("%d",&T);
87     while(T--)
88     {
89         scanf("%lld",&n);
90         printf("%d
",Solve());
91     }
92     return 0;
93 }

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