对于任意正整数n，由Bernoulli不等式有
(frac{x_{n+1}}{x_n}=frac{n^n(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{2n+1}})
(=(frac{n^2+2n}{(n+1)^2})^nfrac{n+2}{n+1})
(=(1-frac{1}{n^2+2n+1})^nfrac{n+2}{n+1})
(≥(1-frac{n}{n^2+2n+1})frac{n+2}{n+1})
(=frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1})
(≥1)
对于任意正整数n≥2
(frac{y_{n-1}}{y_n}=frac{n^{2n+1}}{(n-1)^n(n+1)^{n+1}})
(=(frac{n^2}{(n^2-1})^nfrac{n}{n+1})
(=(1+frac{1}{(n^2-1})^nfrac{n}{n+1})
(≥(1+frac{n}{(n^2-1})frac{n}{n+1})
(=frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1})
( ≥1)
因此对于任意正整数你都有(2=x_1≤x_n≤y_n≤y_1=4)，所以他们都是收敛的。