[问题2014S15] 解答
任取 (OA) 的特征值 (lambdainmathbb{C}) 以及对应的特征向量 (0 eqxi=(x_1,x_2,cdots,x_n)'inmathbb{C}^n), 即 [OAxi=lambdaxi,] 将上式两边同时求共轭转置可得 [overline{xi}'AO'=overline{lambda}overline{xi}'.] 注意到 (O) 是正交阵, 将上述两式相乘可得 [overline{xi}'A^2xi=|lambda|^2overline{xi}'xi,] 即 [a_1^2|x_1|^2+a_2^2|x_2|^2+cdots+a_n^2|x_n|^2=|lambda|^2Big(|x_1|^2+|x_2|^2+cdots+|x_n|^2Big).] 由假设可得 [m^2Big(|x_1|^2+|x_2|^2+cdots+|x_n|^2Big)leq |lambda|^2Big(|x_1|^2+|x_2|^2+cdots+|x_n|^2Big)leq M^2Big(|x_1|^2+|x_2|^2+cdots+|x_n|^2Big),] 因此 [mleq |lambda|leq M,] 故结论得证. (Box)