一、自协方差和自相关系数
p阶自回归AR(p)
自协方差 r(t,s)=E[X(t)-EX(t)][X(s)-EX(s)]
自相关系数ACF=r(s,t)/[(DX(t).DX(s))^0.5]
二、平稳时间序列自协方差与自相关系数
1、平稳时间序列可以定义r(k)为时间序列的延迟k自协方差函数：
r(k)=r(t,t+k)=E[X(t)-EX(t)][X(t+k)-EX(t+k)]
2、平稳时间序列的方差相等DX(t)=DX(t+k)=σ2，
所以DX(t)*DX(t+k)=σ2*σ2，
所以[DX(t)*DX(t+k)]^0.5=σ2
而r(0)=r(t,t)=E[X(t)-EX(t)][X(t)-EX(t)]=E[X(t)-EX(t)]^2=DX(t)=σ2
简而言之，r(0)就是自己与自己的协方差，就是方差，
所以，平稳时间序列延迟k的自相关系数ACF等于：
p(k)=r(t,t+k)/[(DX(t).DX(t+k))^0.5]=r(k)/σ2=r(k)/r(0)
3、平稳AR(p)的自相关系数具有两个显著特征：一是拖尾性；二是呈负指数衰减。
三、偏相关系数
对于一个平稳AR(p)模型，求出滞后k自相关系数p(k)时，实际上得到并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系。因为x(t)同时还会受到中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关系数p(k)里实际掺杂了其他变量对x(t)与x(t-k)的影响。
为了能单纯测度x(t-k)对x(t)的影响，引进偏自相关系数的概念。
对于平稳时间序列{x(t)}，所谓滞后k偏自相关系数指在给定中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干扰之后，x(t-k)对x(t)影响的相关程度。用数学语言描述就是：
p[(x(t),x(t-k)]|(x(t-1),……，x(t-k+1)={E[(x(t)-Ex(t)][x(t-k)-Ex(t-k)]}/E{[x(t-k)-Ex(t-k)]^2}
这就是滞后k偏自相关系数的定义。
四、MATLAB中的实现
平稳随机序列的自相关系数——autocorr
Syntax：
autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)
[ACF,lags,bounds] = autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)
其中 Series 是平稳时间序列，nLags 是延迟阶数。
平稳随机序列的偏相关系数——parcorr
Syntaxparcorr(Series,nLags,R,nSTDs)
[PartialACF,lags,bounds]= parcorr(Series,nLags,R,nSTDs)
其中 Series 是平稳时间序列，nLags 是延迟阶数。