1、S3VM

传统半监督支持向量机通过探索未标记数据来规范。调整决策边界，寻找最有的大间隔、低密度的超平面,比如S3VMs、TSVM等半监督SVM算法，如图所示，S3VM试图找到一个超平面，将有标记样本能够正确划分，且穿过特征空间中密度最低的区域；右图即是S3VM寻找的理想超平面。

S3VM的目标函数如下，其中损失函数是hinge loss，限制条件是保证未标注样本的分布于标注样本分布一致。

因为给定少量的有标注点和大量无标注的点，可能存在不止一个间隔较大的低密度分界线，如果只考虑一个，可能会造成较大的损失。

2、S4VM：

不同于S3VM，S4VM关注多个可能存在的低密度分界，使用多个超平面，是一种集成学习方法。

起目标函数如上：其中正则项用来保证不同超平面之间具有一定的差异性，如果两个超平面差异性越大，则预测相同的数目越小，则函数值越小，M为惩罚系数，M越大，则要求超平面的差异性越大。

3、实现方式

因为S4VM的目标函数是非凸的，因此可能存在多个局部最优解，如果使用梯度下降求解，则容易求解出局部最优解而非全局最优，基于词，论文提出两种求解全局最优的实现方式。

1、全局模拟退火算法

模拟退火算法的主要思想是，在求解过程中，每次随机出一个新的x_new ,计算f(x_new)是否优于f(x),如果f(x_new)优于f(x)，则接受x_new, 否则将以一定概率接受当前解，此概率设置为与全局变量T（温度）有关，温度越高，则概率越大，在迭代过程中，温度逐渐下降，接受的概率也逐渐降低。在求解全局最小值的时候，接受的概率p=exp(-dE / T),其中dE = f(x_new) - f(x)。

使用全局模拟退火算法求解S4VM的伪代码如下：

首先是随机出T个超平面，即给出T个超平面对未标注样本的预测值，在Localsearch中，根据预测值，即可以使用传统SVM学习到每个超平面的参数，对于每个超平面，在固定参数下，调整每个未标注样本的标签，使得目标函数最终收敛，则一次Localsearch完成，其他部分与模拟退火算法一致。

2、使用采样方式

随机选择出N个超平面，其中N > T

对于每个超平面，使用S3VM进行求解，得到N个S3VM超平面，每个超平面对未标记样本具有预测值，然后对所有样本进行聚类，聚类数目为T，在每个簇中，选择使得目标函数最小的一个超平面，这样会最终选出T个超平面。