高斯消元

一.高斯消元解线性方程组

题目：输入一个增广矩阵，输出所有的解

分析：如果出现 0 = x(>0) 无解， 0 = 0 无穷多解， 完美梯形就是唯一解

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double a[N][N];


int gauss()
{
    int c, r;// c 代表 列 col ， r 代表 行 row
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;// 先找到当前这一列，绝对值最大的一个数字所在的行号
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;// 如果当前这一列的最大数都是 0 ，那么所有数都是 0，就没必要去算了，因为它的约束方程，可能在上面几行

        for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);//// 把当前这一行，换到最上面（不是第一行，是第 r 行）去
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];// 把当前这一行的第一个数，变成 1， 方程两边同时除以 第一个数，必须要到着算，不然第一个数直接变1，系数就被篡改，后面的数字没法算
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )// 把当前列下面的所有数，全部消成 0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)// 如果非0 再操作，已经是 0就没必要操作了
                for (int j = n; j >= c; j -- )// 从后往前，当前行的每个数字，都减去对应列 * 行首非0的数字，这样就能保证第一个数字是 a[i][0] -= 1*a[i][0];
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;// 这一行的工作做完，换下一行
    }

    if (r < n)// 说明剩下方程的个数是小于 n 的，说明不是唯一解，判断是无解还是无穷多解
    {// 因为已经是阶梯型，所以 r ~ n-1 的值应该都为 0
        for (int i = r; i < n; i ++ )// 
            if (fabs(a[i][n]) > eps)// a[i][n] 代表 b_i ,即 左边=0，右边=b_i,0 != b_i, 所以无解。
                return 2;
        return 1;// 否则， 0 = 0，就是r ~ n-1的方程都是多余方程
    }
    // 唯一解 ↓，从下往上回代，得到方程的解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];//因为只要得到解，所以只用对 b_i 进行操作，中间的值，可以不用操作，因为不用输出

    return 0;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            cin >> a[i][j];

    int t = gauss();

    if (t == 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf
", a[i][n]);
    }
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");

    return 0;
}

二.高斯消元解异或线性方程组

题目：

输入一个包含n个方程n个未知数的异或线性方程组。

方程组中的系数和常数为0或1，每个未知数的取值也为0或1。

求解这个方程组。

异或线性方程组示例如下：

M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]

其中“^”表示异或(XOR)，M[i][j]表示第i个式子中x[j]的系数，B[i]是第i个方程右端的常数，取值均为0或1。

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含n+1个整数0或1，表示一个方程的n个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共n行，其中第i行输出第i个未知数的解。

如果给定线性方程组存在多组解，则输出“Multiple sets of solutions”。

如果给定线性方程组无解，则输出“No solution”。

数据范围

1≤n≤1001≤n≤100

输入样例：

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1

输出样例：

1
0
0

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int a[N][N];
int n;

int gauss(){
    int c, r;
    for(c = r = 0;c < n;++c){
        int t = r;
        
        //在当前列找到值为1的
        for(int i = r;i < n;++i)
            if(a[i][c])
                t = i;
        if(!a[t][c]) continue;
        
        //和r行交换
        for(int i = c;i <= n;++i) swap(a[r][i], a[t][i]);
        
        //当前列消0
        for(int i = r + 1;i < n;++i)
            if(a[i][c])
                for(int j = n;j >= c;--j)
                    a[i][j] ^= a[r][j];
        
        ++r;
    }
    
    if(r < n){
        for(int i = r;i < n;++i)
            if(a[i][n]) return 2;
        return 1;
    }
    //这块就背了
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] ^= a[i][j] * a[j][n];
    
    return 0;
}

int main(){
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            cin >> a[i][j];

    int t = gauss();

    if (t == 0)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << a[i][n] << endl;
    }
    else if (t == 1) puts("Multiple sets of solutions");
    else puts("No solution");

    return 0;
}