一、矩阵的加法与减法1、运算规则 设矩阵 ![]() ![]() 则 ![]() 简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减! 注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的. |
2、 运算性质 (假设运算都是可行的) 满足交换律和结合律 交换律 ![]() 结合律 ![]() |
二、矩阵与数的乘法1、 运算规则 数 ![]() ![]() ![]() ![]() 特别地,称 ![]() ![]() 2、 运算性质 满足结合律和分配律 结合律: (λμ)A=λ(μA) ; (λ+μ)A =λA+μA. 分配律: λ (A+B)=λA+λB. |
典型例题 例6.5.1 已知两个矩阵 ![]() ![]() ![]() 解 由已知条件知 ![]() ![]() |
三、矩阵与矩阵的乘法1、 运算规则 设 ![]() ![]() ![]() (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即 ![]() (2) C的第 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
典型例题 例6.5.2 设矩阵 ![]() ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 想一想:设列矩阵 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
课堂练习 1、设 ![]() ![]() ![]() 2、在第1道练习题中,两个矩阵相乘的顺序是A在左边,B在右边,称为A左乘B或B右乘A.如果交换顺序,让B在左边,A在右边,即A右乘B,运算还能进行吗?请算算试试看.并由此思考:两个矩阵应当满足什么条件,才能够做乘法运算. 3、设列矩阵 ![]() ![]() ![]() ![]() 4、设三阶方阵 ![]() ![]() ![]() ![]() |
解: 第1题 ![]() 对于 ![]() ![]() ![]() ![]() |
结论1 只有在下列情况下,两个矩阵的乘法才有意义,或说乘法运算是可行的:左矩阵的列数=右矩阵的行数. 第3题 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 结论2 在矩阵的乘法中,必须注意相乘的顺序.即使在 ![]() ![]() ![]() ![]() 第4题 计算得: ![]() 结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积,结果仍为A,即 ![]() 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用. |
典型例题 例6.5.3 设 ![]() ![]() ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 结论4 两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.由此若 ![]() ![]() ![]() |
例6.5.4 利用矩阵的乘法,三元线性方程组 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2、 运算性质(假设运算都是可行的) (1) 结合律 ![]() (2) 分配律 ![]() ![]() (3) ![]() 3、 方阵的幂
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四、矩阵的转置1、 定义
![]() ![]() 2、运算性质(假设运算都是可行的) (1) ![]() (2) ![]() (3) ![]() (4) ![]() ![]() |
典型例题 例6.5.5 利用矩阵 ![]() ![]() 解 ![]() ![]() ![]() ![]() 而 ![]() 所以 ![]() |
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五、方阵的行列式1、定义
2 、运算性质 (1) ![]() (2) ![]() ![]() (3) ![]() ![]() 思考:设A为 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
不妨自行设计一个二阶方阵,计算一下 ![]() ![]() 例如 ![]() ![]() 于是 ![]() ![]() ![]() 思考:设 ![]() ![]() 解 方法一:先求矩阵乘法 ![]() 方法二:先分别求行列式 ![]() |